Правила умнажения

Умножение и его свойства

Определение. Умножение — это действие в результате которого находят сумму одинаковых слагаемых. Умножить число а на число Ь означает найти сумму Ь слагаемых, каждое из которых равно а.

Числа, которые перемножаются, называются множителями (или сомножителями), а результат умножения — произведением .

При умножении натуральных чисел произведение всегда число положительное. Если один из множителей равен 0 (нулю), то произведение равно 0. Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен 0.

Если один из двух множителей равен 1 (единице), То произведение равно второму множителю.

  • 5 * 6 * 8 * 0 = 0
  • 132 * 1 = 132
  • Законы умножения

    Сочетательный закон

    Правило. Чтобы произведение двух множителей умножить на третий множитель, можно первый множитель умножить на произведение второго и третьего множителей.

    • (7 * 6) * 5 = 7 * (6 * 5) = 210
    • (a * b) * c = a * (b * c)
    • Переместительный закон

      Правило. От перестановки множителей произведение не изменяется.

    • 7 * 6 * 5 = 5 * 6 * 7 = 210
    • а * Ь * с = с * Ь * а
    • Распределительным закон

      Правило. Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое из слагаемых и полученные произведения сложить.

    • Например:
    • 7 * (6 + 5) = 7 * 6 + 7 * 5 = 77
    • a * (b + c) = ab + ac
    • Распределительный закон распространяется и на действие вычитания.

    • 7 * (6 — 5) = 7 * 6 — 7 * 5 = 7
    • Законы умножении распространяются на любое количество множителей в числовом или буквенном выражении. Распределительный закон умножения используется для вынесения общего множителя за скобки.

      Правило. Чтобы преобразовать сумму (разность) в произведение, достаточно вынести за скобки одинаковый множитель слагаемых, а оставшиеся множители записать в скобках суммой (разностью).

    • 7 * 8 — 7 * 5 = 7 * (8 — 5)
    • аЬ + ас = а * (Ь + с)

    Вынесение множителя за скобки для больших числовых или буквенных выражений можно производить по группам слагаемых.

    shkolo.ru

    Правила умнажения

    Правильно ли мы понимаем умножение?

    «- А и Б сидели на трубе. А упало, Б пропало, что осталось на трубе?
    — Осталась ваша буква И».

    (Из к/ф «Отроки во Вселенной»)

    Почему при умножении числа на ноль получается ноль?

    Почему при перемножении двух отрицательных чисел получается положительное число?

    Что только не придумывают педагоги, чтобы дать ответы на эти два вопроса.

    Но никому не хватает смелости признать, что в формулировке умножения три смысловые ошибки!

    Возможны ли ошибки в основах арифметики? Ведь математика позиционирует себя точной наукой.

    Школьные учебники математики не дают ответов на эти вопросы, заменяя объяснения набором правил, которые нужно запомнить. Может быть считают эту тему трудной для объяснения в средних классах школы? Попробуем разобраться в этих вопросах.

    7 — множимое. 3 — множитель. 21- произведение.

    По официальной формулировке:

  • умножить число на другое число — значит сложить столько множимых, сколько предписывает множитель.
  • По принятой формулировке множитель 3 говорит нам о том, что в правой части равенства должно быть три семерки.

    7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

    Но эта формулировка умножения не может объяснить поставленные выше вопросы.

    Исправим формулировку умножения

    Обычно в математике многое имеют в виду, но об этом не говорят и не записывают.

    Имеется в виду знак плюс перед первой семеркой в правой части равенства. Запишем этот плюс.

    7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

    Но к чему прибавляется первая семерка. Имеется в виду, что к нулю, разумеется. Запишем и ноль.

    7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

    А если мы будем умножать на три минус семь?

    — 7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = — 21

    Мы записываем сложение множимого -7, на самом деле мы производим многократное вычитание из нуля. Раскроем скобки.

    — 7 * 3 = 0 — 7 — 7 — 7 = — 21

    Теперь можно дать уточненную формулировку умножения.

    • Умножение — это многократное прибавление к нулю (или вычитание из нуля) множимого (-7) столько раз, сколько указывает множитель. Множитель (3) и его знак (+ или -) указывает количество операций прибавления к нулю или вычитания из нуля.
    • По этой уточненной и несколько измененной формулировке умножения легко объясняются «правила знаков» при умножении, когда множитель отрицательный.

      7 * (-3) — должно быть после нуля три знака «минус» = 0 — (+7) — (+7) — (+7) = — 21

      — 7 * (-3) — снова должно быть после нуля три знака «минус» =

      = 0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

      Умножение на ноль

      7 * 0 = 0 + . нет операций прибавления к нулю.

      Если умножение это прибавление к нулю, а множитель показывает количество операций прибавления к нулю, то множитель ноль показывает, что к нулю ничего не прибавляется. Поэтому и остается ноль.

      Итак, в существующей формулировке умножения мы нашли три смысловые ошибки, которые блокируют понимание двух «правил знаков» (когда множитель отрицательный) и умножение числа на ноль.

      1. Нужно не складывать множимое, а прибавлять его к нулю.
      2. Умножение это не только прибавление к нулю, но и вычитание из нуля.
      3. Множитель и его знак показывают не количество слагаемых, а количество знаков плюс или минус при разложении умножения на слагаемые (или вычитаемые).

      Несколько уточнив формулировку, нам удалось объяснить правила знаков при умножении и умножение числа на ноль без помощи переместительного закона умножения, без распределительного закона, без привлечения аналогий с числовой прямой, без уравнений, без доказательств от обратного и т.п.

      Правила знаков по уточненной формулировке умножения выводятся очень просто.

      -7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (- + = -)

      +7 * (-3) = 0 — (+7) — (+7) — (+7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (+ — = -)

      -7 * (-3) = 0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- — = +)

      Множитель и его знак (+3 или -3) указывает на количество знаков «+» или «-» в правой части равенства.

      Измененная формулировка умножения соответствует операции возведения числа в степень.

      2^0 = 1 (единица ни на что не умножается и не делится, поэтому остается единицей)

      2^-2 = 1 : 2 : 2 = 1/4

      2^-3 = 1 : 2 : 2 : 2 = 1/8

      Математики согласны, что возведение числа в положительную степень — это многократное умножение единицы. А возведение числа в отрицательную степень — это многократное деление единицы.

      Операция умножения должна быть аналогична операции возведения в степень.

      2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

      2*0 = 0 (к нулю ничего не прибавляется и из нуля ничего не вычитается)

      2*-3 = 0 — 2 — 2 — 2 = -6

      Измененная формулировка умножения ничего не меняет в математике, но возвращает первоначальный смысл операции умножения, объясняет «правила знаков», умножение числа на ноль, согласовывает умножение с возведением в степень.

      Проверим, согласуется ли наша формулировка умножения с операцией деления.

      15 : 5 = 3 (обратная операция умножения 5 * 3 = 15)

      Частное (3) соответствует количеству операций прибавления к нулю (+3) при умножении.

      Разделить число 15 на 5 — значит найти, сколько раз нужно вычесть 5 из 15-ти. Делается это последовательным вычитанием до получения нулевого результата.

      Чтобы найти результат деления, нужно подсчитать количество знаков «минус». Их три.

      15 : 5 = 3 операции вычитания пятерки из 15 до получения нуля.

      15 — 5 — 5 — 5 = 0 (деление 15 : 5)

      0 + 5 + 5 + 5 = 15 (умножение 5 * 3)

      Деление с остатком.

      17 — 5 — 5 — 5 — 2 = 0

      17 : 5 = 3 и 2 остаток

      Если есть деление с остатком, почему нет умножения с придатком?

      2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

      Смотрим разницу формулировок на калькуляторе

      Существующая формулировка умножения (три слагаемых).

      10 + 10 + 10 = 30

      Исправленная формулировка умножения (три операции прибавления к нулю).

      0 + 10 = = = 30

      (Три раза нажимаем «равняется».)

      10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

      Множитель 3 указывает, что к нулю нужно прибавить множимое 10 три раза.

      Попробуйте выполнить умножение (-10) * (-3) путем сложения слагаемого (-10) минус три раза!

      (-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 — 10 — 10 = -30 ?

      Что значит знак минус у тройки? Может так?

      (-10) * (-3) = (-10) — (-10) — (-10) = — 10 + 10 + 10 = 10?

      Опс. Не получается разложить произведение на сумму (или разность) слагаемых (-10).

      С помощью измененной формулировки это выполняется правильно.

      0 — (-10) = = = +30

      (-10) * (-3) = 0 — (-10) — (-10) — (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

      Множитель (-3) указывает, что из нуля нужно вычесть множимое (-10) три раза.

      Правила знаков при сложении и вычитании

      Выше был показан простой способ вывода правил знаков при умножении, путем изменения смысла формулировки умножения.

      Но для вывода мы использовали правила знаков при сложении и вычитании. Они почти такие же, как и для умножения. Создадим визуализацию правил знаков для сложения и вычитания, чтобы и первокласснику было понятно.

      Что такое «минус», «отрицательный»?

      Ничего отрицательного в природе нет. Нет отрицательной температуры, нет отрицательного направления, нет отрицательной массы, нет отрицательных зарядов. Даже синус по своей природе может быть только положительным.

      Но математики придумали отрицательные числа. Для чего? Что означает «минус»?

      Минус означает противоположное направление. Левый — правый. Верх — низ. По часовой стрелке — против часовой стрелки. Вперед — назад. Холодно — горячо. Легкий — тяжелый. Медленно — быстро. Если подумать, можно привести много других примеров, где удобно использовать отрицательные значения величин.

      В известном нам мире бесконечность начинается с нуля и уходит в плюс бесконечность.

      «Минус бесконечности» в реальном мире не существует. Это такая же математическая условность, как и понятие «минус».

      Итак, «минус» обозначает противоположное направление: движения, вращения, процесса, умножения, сложения. Проанализируем разные направления при сложении и вычитании положительных и отрицательных (увеличивающихся в другом направлении) чисел.

      Сложность понимания правил знаков при сложении и вычитании связана с тем, что обычно эти правила пытаются объяснить на числовой прямой. На числовой прямой смешиваются три разные составляющие, из которых выводятся правила. И из-за смешивания, из-за сваливания разных понятий в одну кучу, создаются трудности понимания.

      Для понимания правил, нам нужно разделить:

    • первое слагаемое и сумму (они будут на горизонтальной оси);
    • второе слагаемое (оно будет на вертикальной оси);
    • направление операций сложения и вычитания.
    • Такое разделение наглядно показано на рисунке. Мысленно представьте, что вертикальная ось может вращаться, накладываясь на горизонтальную ось.

      Операция сложения всегда выполняется вращением вертикальной оси по часовой стрелке (знак «плюс»). Операция вычитания всегда выполняется путем вращения вертикальной оси против часовой стрелки (знак «минус»).

      Пример. Схема в нижнем правом углу.

      Видно, что два рядом стоящих знака минуса (знак операции вычитания и знак числа 3) имеют разный смысл. Первый минус показывает направление вычитания. Второй минус — знак числа на вертикальной оси.

      Находим первое слагаемое (-2) на горизонтальной оси. Находим второе слагаемое (-3) на вертикальной оси. Мысленно вращаем вертикальную ось против часовой стрелки до совмещения (-3) с числом (+1) на горизонтальной оси. Число (+1) есть результат сложения.

      дает такой же результат, как операция сложения на схеме в верхнем правом углу.

      Поэтому два рядом стоящих знака «минус» можно заменить одним знаком «плюс».

      Мы все привыкли пользоваться готовыми правилами арифметики, не задумываясь об их смысле. Поэтому мы часто даже не замечаем, чем правила знаков при сложении (вычитании) отличаются от правил знаков при умножении (делении). Кажется, они одинаковые? Почти. Незначительная разница видна на следующей иллюстрации.

      Теперь у нас есть все необходимое, чтобы вывести правила знаков для умножения. Последовательность вывода следующая.

    • Наглядно показываем, как получаются правила знаков для сложения и вычитания.
    • Вносим смысловые изменения в существующую формулировку умножения.
    • На основе измененной формулировки умножения и правил знаков для сложения выводим правила знаков для умножения.
    • Ниже написаны правила знаков при сложени и вычитании, полученные из визуализации. И красным цветом, для сравнения, те же правила знаков из учебника математики. Серый плюс в скобках — это плюс-невидимка, который не записывается у положительного числа.

      Между слагаемыми всегда два знака: знак операции и знак числа (плюс мы не записываем, но подразумеваем). Правила знаков предписывают замену одной пары знаков на другую пару без изменения результата сложения (вычитания). Фактически, правил всего два.

      Правила 1 и 3 (по визуализации) — дублируют правила 4 и 2.. Правила 1 и 3 в школьной интерпретации не совпадают с визуальной схемой, следовательно, они не относятся к правилам знаков при сложении. Это какие-то другие правила.

      Школьное правило 1. (красный цвет) разрешает заменять два плюса подряд одним плюсом. Правило не относится к замене знаков при сложении и вычитании.

      Школьное правило 3. (красный цвет) разрешает не записывать знак плюс у положительного числа после операции вычитания. Правило не относится к замене знаков при сложении и вычитании.

      Смысл правил знаков при сложении- замена одной ПАРЫ знаков другой ПАРОЙ знаков без изменения результата сложения.

      Школьные методисты смешали в одном правиле два правила:

      — два правила знаков при сложении и вычитании положительных и отрицательных чисел (замена одной пары знаков другой парой знаков);

      — два правила, по которым можно не писать знак «плюс» у положительного числа.

      Два разных правила, смешанных в одно, похожи на правила знаков при умножении, где из двух знаков следует третий. Похожи один в один.

      Здорово запутали! Ещё раз то же самое, для лучшего распутывания. Выделим красным цветом знаки операций, чтобы отличать их от знаков чисел.

      1. Сложение и вычитание. Два правила знаков, по которым взаимозаменяются пары знаков между слагаемыми. Знак операции и знак числа.

      2. Два правила, по которым знак плюс у положительного числа разрешается не писать. Это правила формы записи. К сложению не относятся. Для положительного числа записывается только знак операции.

      3. Четыре правила знаков при умножении. Когда из двух знаков множителей следует третий знак произведения. В правилах знаков для умножения только знаки чисел.

      Теперь, когда мы отделили правила формы записи, должно быть хорошо видно, что правила знаков для сложения и вычитания совсем не похожи на правила знаков при умножении.

      Дата размещения материала на сайте: 10 июля 2015 года

      mnemonikon.ru

      Умножение и деление целых чисел

      При умножении и делении целых чисел применяется несколько правил. В данном уроке мы рассмотрим каждое из них.

      При умножении и делении целых чисел следует обращать внимание на знаки чисел. От них будет зависеть, какое правило применять. Также необходимо изучить несколько законов умножения и деления. Изучение этих правил позволяет избежать некоторые досадные ошибки в будущем.

      Некоторые из законов математики мы рассматривали в уроке законы математики. Но мы рассмотрели не все законы. В математике немало законов, и разумнее будет изучать их последовательно по мере необходимости.

      Для начала вспомним из чего состоит умножение. Умножение состоит из трёх параметров: множимого, множителя и произведения. Например в выражении 3 × 2 = 6 , число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение.

      Множимое показывает, что именно мы увеличиваем. В нашем примере мы увеличиваем число 3.

      Множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. В нашем примере множитель это число 2. Этот множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое 3. То есть, в ходе операции умножения число 3 будет увеличено в два раза.

      Произведение это собственно результат операции умножения. В нашем примере произведение это число 6. Это произведение является результатом умножения 3 на 2.

      Выражение 3 × 2 также можно понимать, как сумму двух троек. Множитель 2 в данном случае будет показывать сколько раз нужно взять число 3:

      Таким образом, если взять число 3 два раза подряд, получится число 6.

      Переместительный закон умножения

      Множимое и множитель называют одним общим словом – сомножители. Переместительный закон умножения выглядит следующим образом:

      От перестановки мест сомножителей произведение не меняется.

      Проверим так ли это. Умножим к примеру 3 на 5. Здесь 3 и 5 это сомножители.

      Теперь поменяем местами сомножители:

      В обоих случаях, мы получаем ответ 15, значит между выражениями 3 × 5 и 5 × 3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному тому же значению:

      А с помощью переменных переместительный закон умножения можно записать так:

      где a и b — сомножители

      Сочетательный закон умножения

      Этот закон говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.

      К примеру выражение 3 × 2 × 4 состоит из нескольких сомножителей. Чтобы его вычислить, можно перемножить 3 и 2, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 4. Выглядеть это будет так:

      3 × 2 × 4 = (3 × 2) × 4 = 6 × 4 = 24

      Это был первый вариант решения. Второй вариант состоит в том, чтобы перемножить 2 и 4, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 3. Выглядеть это будет так:

      3 × 2 × 4 = 3 × (2 × 4) = 3 × 8 = 24

      В обоих случаях мы получаем ответ 24. Поэтому между выражениями (3 × 2) × 4 и 3 × (2 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

      (3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4)

      а с помощью переменных сочетательный закон умножения можно записать так:

      a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)

      где вместо a, b, c могут стоять любые числа.

      Распределительный закон умножения

      Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число. Для этого каждое слагаемое этой суммы умножается на это число, затем полученные результаты складывают.

      Например, найдём значение выражения (2 + 3) × 5

      Выражение находящееся в скобках является суммой. Эту сумму нужно умножить на число 5. Для этого каждое слагаемое этой суммы, то есть числа 2 и 3 нужно умножить на число 5, затем полученные результаты сложить:

      (2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25

      Значит значение выражения (2 + 3) × 5 равно 25 .

      С помощью переменных распределительный закон умножения записывается так:

      (a + b) × c = a × c + b × c

      где вместо a, b, c могут стоять любые числа.

      Закон умножения на ноль

      Этот закон говорит о том, что если в любом умножении имеется хотя бы один ноль, то в ответе получится ноль.

      Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

      Например, выражение 0 × 2 равно нулю

      В данном случае число 2 является множителем и показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. То есть, во сколько раз увеличить ноль. Буквально это выражение читается как «увеличить ноль в два раза». Но как можно увеличить ноль в два раза, если это ноль?

      Другими словами, если «ничего» увеличить в два раза или даже в миллион раз, всё равно получится «ничего».

      И если в выражении 0 × 2 поменять местами сомножители, опять же получится ноль. Это мы знаем из предыдущего переместительного закона:

      Примеры применения закона умножения на ноль:

      2 × 5 × 0 × 9 × 1 = 0

      В последних двух примерах имеется несколько сомножителей. Увидев в них ноль, мы сразу в ответе поставили ноль, применив закон умножения на ноль.

      Мы рассмотрели основные законы умножения. Далее рассмотрим умножение целых чисел.

      Умножение целых чисел

      Пример 1. Найти значение выражения −5 × 2

      Это умножение чисел с разными знаками. −5 является отрицательным числом, а 2 – положительным. Для таких случаев нужно применять следующее правило:

      Чтобы перемножить числа с разными знаками, нужно перемножить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.

      −5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10

      Обычно записывают покороче: −5 × 2 = −10

      Любое умножение может быть представлено в виде суммы чисел. Например, рассмотрим выражение 2 × 3. Оно равно 6.

      Множителем в данном выражение является число 3. Этот множитель показывает во сколько раз нужно увеличить двойку. Но выражение 2 × 3 также можно понимать как сумму трёх двоек:

      То же самое происходит и с выражением −5 × 2. Это выражение может быть представлено в виде суммы

      А выражение (−5) + (−5) равно −10, и мы это знаем из прошлого урока. Это сложение отрицательных чисел. Напомним, что результат сложения отрицательных чисел есть отрицательное число.

      Пример 2. Найти значение выражения 12 × (−5)

      Это умножение чисел с разными знаками. 12 – положительное число, (−5) – отрицательное. Опять же применяем предыдущее правило. Перемножаем модули чисел и перед полученным ответом ставим минус:

      12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60

      Обычно записывают короче: 12 × (−5) = −60

      Пример 3. Найти значение выражения 10 × (−4) × 2

      Это выражение состоит из нескольких сомножителей. Сначала перемножим 10 и (−4), затем полученное число умножим на 2. Попутно применим ранее изученные правила:

      10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40

      Второе действие:

      −40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80

      Значит значение выражения 10 × (−4) × 2 равно −80

      Обычно записывают короче: 10 × (−4) × 2 = −40 × 2 = −80

      Пример 4. Найти значение выражения (−4) × (−2)

      Это умножение отрицательных чисел. В таких случаях нужно применять следующее правило:

      Чтобы перемножить отрицательные числа, нужно перемножить их модули и перед полученным ответом поставить плюс

      (−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8

      Плюс по традиции не записываем, поэтому просто записываем ответ 8.

      Обычно записывают короче (−4) × (−2) = 8

      Возникает вопрос почему при умножении отрицательных чисел вдруг получается положительное число. Давайте попробуем доказать, что (−4) × (−2) равно 8 и ни чему другому.

      Сначала запишем следующее выражение:

      Заключим его в скобки:

      Прибавим к этому выражению наше выражение (−4) × (−2). Его тоже заключим в скобки:

      Всё это приравняем к нулю:

      ( 4 × (−2) ) + ( (−4) × (−2) ) = 0

      Теперь начинается самое интересное. Суть в том, что мы должны вычислить левую часть этого выражения, и в результате получить 0.

      Итак, первое произведение ( 4 × (−2) ) равно −8. Запишем в нашем выражении число −8 вместо произведения ( 4 × (−2) )

      Теперь вместо второго произведения временно поставим многоточие

      Теперь внимательно смотрим на выражение −8 + […] = 0. Какое число должно стоять вместо многоточия, чтобы соблюдалось равенство? Ответ напрашивается сам. Вместо многоточия должно стоять положительное число 8 и никакое другое. Только так будет соблюдаться равенство. Ведь −8 + 8 равно 0.

      Возвращаемся к выражению −8 + ((−4) × (−2)) = 0 и вместо произведения ((−4) × (−2)) записываем число 8

      Пример 5. Найти значение выражения −2 × (6 + 4)

      Применим распределительный закон умножения, то есть умножим число −2 на каждое слагаемое суммы (6 + 4)

      −2 × (6 + 4) = ( −2 × 6) + ( −2 × 4)

      Теперь вычислим выражения, находящиеся в скобках. Затем полученные результаты сложим. Попутно применим ранее изученные правила. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

      Первое действие:

      −2 × 6 = −(2 × 6) = −(12) = −12

      −2 × 4 = −(2 × 4) = −(8) = −8

      Третье действие:

      Значит значение выражения −2 × (6 + 4) равно −20

      Обычно записывают короче: −2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20

      Пример 6. Найти значение выражения (−2) × (−3) × (−4)

      Выражение состоит из нескольких сомножителей. Сначала перемножим числа −2 и −3, и полученное произведение умножим на оставшееся число −4. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражение

      Значит значение выражения (−2) × (−3) × (−4) равно −24

      Обычно записывают короче: (−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24

      Законы деления

      Прежде чем делить целые числа, необходимо изучить два закона деления.

      В первую очередь, вспомним из чего состоит деление. Деление состоит из трёх параметров: делимого, делителя и частного. Например, в выражении 8 : 2 = 4, 8 – это делимое, 2 – делитель, 4 – частное.

      Делимое показывает, что именно мы делим. В нашем примере мы делим число 8.

      Делитель показывает на сколько частей нужно разделить делимое. В нашем примере делитель это число 2. Этот делитель показывает на сколько частей нужно разделить делимое 8. То есть, в ходе операции деления, число 8 будет разделено на две части.

      Частное – это собственно результат операции деления. В нашем примере частное это число 4. Это частное является результатом деления 8 на 2.

      Далее рассмотрим законы деления.

      На ноль делить нельзя

      Любое число запрещено делить на ноль. Дело в том, что деление является обратной операцией умножению. Например, если 2 × 6 = 12, то 12 : 6 = 2

      Видно, что второе выражение записано в обратном порядке.

      Теперь сделаем тоже самое для выражения 5 × 0. Мы знаем из законов умножения, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Значит и выражение 5 × 0 равно нулю

      Если записать это выражение в обратном порядке, то получим:

      Сразу в глаза бросается ответ 5, который получается в результате деления ноль на ноль. Это невозможно и глупо.

      В обратном порядке можно записать и другое похожее выражение, например 2 × 0 = 0

      В первом случае, разделив ноль на ноль мы получили 5, а во втором случае 2. То есть, каждый раз деля ноль на ноль, мы можем получить разные значения, а это недопустимо.

      Второе объяснение заключается в том, что разделить делимое на делитель означает найти такое число, которое при умножении на делитель даст делимое.

      Например выражение 8 : 2 означает найти такое число, которое при умножении на 2 даст 8

      Здесь вместо многоточия должно стоять число, которое при умножении на 2 даёт ответ 8. Чтобы найти это число, достаточно записать это выражение в обратном порядке:

      Теперь представим, что нужно найти значение выражения 5 : 0. В данном случае 5 – это делимое, 0 – делитель. Разделить 5 на 0 означает найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5

      Здесь вместо многоточия должно стоять число, которое при умножении на 0 даёт ответ 5. Но не существует числа, которое при умножении на ноль даёт 5.

      Выражение […] × 0 = 5 противоречит закону умножения на ноль, который утверждает, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

      А значит записывать выражение […] × 0 = 5 в обратном порядке, деля 5 на 0 нет никакого смысла. Поэтому и говорят, что на ноль делить нельзя.

      С помощью переменных данный закон записывается следующим образом:

      , при b ≠ 0

      Это выражение можно прочитать так:

      Число a можно разделить на число b, при условии, что b не равно нулю.

      Свойство частного

      Этот закон говорит о том, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не изменится.

      Например, рассмотрим выражение 12 : 4. Значение этого выражения равно 3

      Попробуем умножить делимое и делитель на одно и то же число, например на число 4. Если верить свойству частного, мы опять должны получить в ответе число 3

      (12 × 4 ) : (4 × 4 )

      (12 × 4 ) : (4 × 4 ) = 48 : 16 = 3

      Теперь попробуем не умножить, а разделить делимое и делитель на число 4

      (12 : 4 ) : (4 : 4 )

      (12 : 4 ) : (4 : 4 ) = 3 : 1 = 3

      Получили ответ 3.

      Видим, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не меняется.

      Мы рассмотрели два закона деления. Далее рассмотрим деление целых чисел.

      Деление целых чисел

      Пример 1. Найти значение выражения 12 : (−2)

      Это деление чисел с разными знаками. 12 – это положительное число, (−2) – отрицательное. В таких случаях, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить знак минус.

      12 : (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12 : 2) = −(6) = −6

      Обычно записывают короче 12 : (−2) = −6

      Пример 2. Найти значение выражения −24 : 6

      Это деление чисел с разными знаками. −24 – это отрицательное число, 6 – положительное. В таких случаях опять же нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить знак минус.

      −24 : 6 = −(|−24| : |6|) = −(24 : 6) = −(4) = −4

      Обычно записывают короче −24 : 6 = −4

      Пример 3. Найти значение выражения (−45) : (−5)

      Это деление отрицательных чисел. В таких случаях, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить знак плюс.

      (−45) : (−5) = |−45| : |−5| = 45 : 5 = 9

      Обычно записывают короче (−45) : (−5) = 9

      Пример 4. Найти значение выражения (−36) : (−4) : (−3)

      Согласно порядку действий, если в выражении присутствует только умножение или деление, то все действия нужно выполнять слева направо в порядке их следования.

      Разделим (−36) на (−4), и полученное число разделим на (−3)

      (−36) : (−4) = |−36| : |−4| = 36 : 4 = 9

      9 : (−3) = −(|−9| : |−3|) = −(9 : 3) = −(3) = −3

      Обычно записывают короче (−36) : (−4) : (−3) = 9 : (−3) = −3

      Понравился урок?
      Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

      spacemath.xyz

      Умножение целых чисел, правила, примеры.

      В этой статье мы разберемся, как выполняется умножение целых чисел. Сначала введем термины и обозначения, а также выясним смысл умножения двух целых чисел. После этого получим правила умножения двух целых положительных, целых отрицательных и целых чисел с разными знаками. При этом будем приводить примеры с детальным пояснением хода решения. Также затронем случаи умножения целых чисел, когда один из множителей равен единице или нулю. Дальше мы научимся выполнять проверку полученного результата умножения. И, наконец, поговорим об умножении трех, четырех и большего количества целых чисел.

      Навигация по странице.

      Термины и обозначения

      Для описания умножения целых чисел мы будем использовать такие же термины, с помощью которых мы описывали умножение натуральных чисел. Напомним их.

      Умножаемые целые числа называются множителями. Результат умножения называется произведением. Действие умножение обозначается знаком умножить вида «·». В некоторых источниках можно встретить обозначение умножения знаками «*» или «×».

      Умножаемые целые числа a , b и результат их умножения c удобно записывать с помощью равенства вида a·b=c . В этой записи целое число a – это первый множитель, целое число b – второй множитель, а число c – произведение. Выражение вида a·b также будем называть произведением, как и значение этого выражения c .

      Забегая вперед, заметим, что произведение двух целых чисел представляет собой целое число.

      Смысл умножения целых чисел

      Вспомним для начала смысл умножения двух натуральных чисел. Произведение двух натуральных чисел a и b – это сумма b слагаемых, каждое из которых равно a .

      Так как целые положительные числа являются натуральными числами, то за произведением целых положительных чисел оставим этот же смысл. То есть, , где a и b – любые целые положительные числа.

      Более того, этот смысл сохраним и для произведения, в котором первым слагаемым является любое целое число (отрицательное, нуль или положительное), а вторым слагаемым является целое положительное число. Например, произведение целого отрицательного числа −4 и целого положительного числа 5 будем понимать как (−4)·5=(−4)+(−4)+(−4)+(−4)+(−4) .

      В указанном свете умножение целого числа на единицу есть «сумма из одного слагаемого», равного первому множителю, то есть, a·1=a , где a – любое целое число. То есть, единицу будем считать нейтральным целым числом по умножению.

      Аналогично, произведение целого числа и нуля есть «сумма, состоящая из нуля слагаемых». То есть, примем a·0=0 для любого целого числа a .

      Произведению двух целых чисел, в котором вторым множителем является целое отрицательное число, не будем придавать никакого смысла, но оставим за ним право на существование. Такие произведения будем рассматривать как некоторое обобщение. Примем для себя лишь одно условие: правила умножения на целое отрицательное число должны быть такими, чтобы оставались справедливыми свойства умножения, характерные для умножения целых положительных чисел, то есть, чтобы сохранялись свойства умножения натуральных чисел, в частности, переместительное и сочетательное.

      Правила умножения двух целых чисел

      Можно выполнять умножение двух целых чисел на основании смысла этого действия. Но, во-первых, нахождение суммы одинаковых слагаемых, когда этих слагаемых много, является очень трудоемким процессом. А во-вторых, смысл умножения целых чисел не позволяет находить произведения, в которых вторым множителем является отрицательное число. Поэтому, нам нужны правила, с помощью которых мы будем вычислять произведения двух целых чисел.

      Сейчас мы получим правила умножения целых чисел, позволяющие свести умножение целых чисел к хорошо известному нам умножению натуральных чисел.

      Умножение целых положительных чисел

      Целые положительные числа – это натуральные числа, поэтому умножение целых положительных чисел проводится по всем правилам умножения натуральных чисел. Понятно, что в результате умножения двух целых положительных чисел получится целое положительное число (натуральное число). Рассмотрим пару примеров.

      Вычислите произведение целых положительных чисел 9 и 7 .

      www.cleverstudents.ru

    Смотрите так же:

    • Единый налог и подоходный налог Общая система налогообложения (подоходный налог) Налоги уплачиваются в общеустановленном порядке, если: деятельность не подпадает под единый налог индивидуальный предприниматель не хочет или не имеет права применять УСН. При […]
    • Кто имеет право предоставлять юридические услуги Кто имеет право предоставлять юридические услуги Юридические услуги – это специфичная деятельность, включающая в себя большой спектр деятельности. Она подразумевает консультирование и просвещение в определенных вопросах права и суда, […]
    • Программа профилактика правонарушений несовершеннолетними Программа по профилактике безнадзорности и правонарушений несовершеннолетних «Правила жизни» Транскрипт 1 Приложение 1 Отдела образования 30 декабря 2014 г. 255 Программа по профилактике безнадзорности и правонарушений несовершеннолетних […]
    • Оформить на даче веранду Дизайн веранды – красивое и функциональное оформление интерьера пристройки к дому Правильно оформить дизайн веранды в частном доме можно при соблюдении определенных условий и понимание стиля. Разберёмься в нюансах оформления не касаясь […]
    • Мировые суды правоохранительные органы Полномочия мировых судей в РФ Мировой суд – это первичное (низшее звено) судебной системы (судов общей юрисдикции), рассматривающее в упрощенной процедуре незначительные гражданские, административные и уголовные дела. Полномочия, порядок […]
    • Налог по кадастру 2018 Россиянам приготовили новый налог на имущество Проект скоро станет законом 21.05.2018 в 18:32, просмотров: 186990 Госдума провела работу над ошибками. Конечно, не своими, а теми, которые допустили и допускают составители земельного […]