Правила квадратный корень из степени

Квадратный корень из произведения, дроби и степени

В настоящем параграфе мы будем рассматривать арифметические квадратные корни.

В случае буквенного подкоренного выражения будем считать, что буквы, содержащиеся под знаком корня, обозначают неотрицательные числа.

1. Корень из произведения.

√2601 = 51, так как (51) 2 = 2601.

С другой стороны, заметим, что число 2601 есть произведение двух сомножителей, из которых корень извлекается легко:

Извлечем квадратный корень из каждого сомножителя и перемножим эти корни:

√9 * √289 = 3 * 17 = 51.

Мы получили одинаковые результаты и тогда, когда извлекали корень из произведения, стоящего под корнем, и тогда, когда извлекали корень из каждого сомножителя отдельно и результаты перемножали.

Во многих случаях вторым способом найти результат легче, так как приходится извлекать корень из меньших чисел.

Теорема 1 . Чтобы извлечь квадратный корень из произведения, можно извлечь его из каждого сомножителя отдельно и результаты перемножить.

Докажем теорему для трех сомножителей, то есть докажем справедливость равенства:

(1)

Доказательство проведем непосредственно проверкой, на основании определения арифметического корня.

Допустим, что нам надо доказать равенство:

( A и B — неотрицательные числа). По определению квадратного корня, это значит, что

Поэтому достаточно возвести в квадрат правую часть доказываемого равенства и убедиться, что получится подкоренное выражение левой части.

Применим это рассуждение к доказательству равенства (1). Возведем в квадрат правую часть; но в правой части находится произведение, а чтобы возвести в квадрат произведение, достаточно возвести в квадрат каждый сомножитель и результаты перемножить (см. § 40):

(√a √b √c) 2 = (√a) 2 (√b) 2 (√c) 2 = abc.

Получилось подкоренное выражение, стоящее в левой части. Значит, равенство (1) верно.

Мы доказали теорему для трех сомножителей. Но рассуждения останутся теми же, если под корнем будет 4 и т. д. сомножителей. Теорема верна для любого числа сомножителей.

.

Результат легко найден устно.

2. Корень из дроби.

Теорема 2 . Чтобы извлечь корень из дроби, можно извлечь корень отдельно из числителя и знаменателя и первый результат разделить на второй.

Требуется доказать справедливость равенства:

(2)

Для доказательства применим способ, которым была доказана предыдущая теорема.

Возведем правую часть в квадрат. Будем иметь:

.

Получили подкоренное выражение, стоящее в левой части. Значит, равенство (2) верно.

Итак, мы доказали следующие тождества:

и сформулировали соответствующие правила извлечения квадратного корня из произведения и частного. Иногда при выполнении преобразований приходится применять эти тождества, читая их «справа налево».

Переставив левую и правую части, перепишем доказанные тождества следующим образом:

Чтобы перемножить корни, можно перемножить подкоренные выражения и из произведения извлечь корень.

Чтобы разделить корни, можно разделить подкоренные выражения и из частного извлечь корень.

3. Корень из степени.

В обоих примерах мы в результате получали основание подкоренного выражения в степени, равной частному от деления показателя степени на 2.

Докажем это положение в общем виде.

Теорема 3 . Если m — четное число, то

(3)

Кратко говорят так: чтобы извлечь квадратный корень из степени, достаточно разделить на 2 показатель степени (не меняя основания).

Для доказательства применим тот способ проверки, которым были доказаны теоремы 1 и 2.

Так как m — четное число (по условию), то — целое число. Возведем в квадрат правую часть равенства (3), для чего (см. § 40) умножим на 2 показатель степени, не меняя основания

.

Получили подкоренное выражение, стоящее в левой части. Значит, равенство (3) верно.

Пример. Вычислить .
На вычисление 76 пришлось бы потратить значительное время и труд. Теорема 3 позволяет найти результат устно.

.

mthm.ru

Корни и степени

Степенью называется выражение вида .

Здесь — основание степени, — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

Это верно для . Выражение не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где — целое, — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Арифметический квадратный корень

Уравнение имеет два решения: и .

Это числа, квадрат которых равен .

А как решить уравнение ?

Если мы нарисуем график функции , то увидим, что и у этого уравнения есть два решения, одно из которых положительно, а другое отрицательно.

Но эти решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того чтобы записать эти решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Запомните это определение.

Арифметический квадратный корень обозначается .

1) Квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел

2) Выражение всегда неотрицательно. Например, .

Перечислим свойства арифметического квадратного корня:

Запомним, что выражение не равно . Легко проверить:

— получился другой ответ.

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

Например, , так как ;

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

Сразу договоримся, что основание степени больше .

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше .

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются

— при делении степени на степень показатели вычитаются

— при возведении степени в степень показатели перемножаются

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Правила квадратный корень из степени

СТЕПЕНИ И КОРНИ.

Возвышение в квадрат одночленных алгебраических выражений.

152. Определение степени. Напомним, что произведение двух одинаковых чисел аа называется второю степенью (или квадратом ) числа а, произведение трех одинаковых чисел ааа называется третьей степенью (или кубом ) числа а; вообще произведение n одинаковых чисел аа. а называется n-ю степенью числа а. Действие, посредством которого находится степень данного числа, называется возвышением в степень (вторую, третью и т. д.). Повторяющийся сомножитель называется основанием степени, а число одинаковых сомножителей называется показателем степени.

Сокращенно степени обозначаются так: а 2 , а 3 , а 4 . и т. д.

Мы сначала будем говорить о простейшем случае возвышения в степень, именно о возвышении в квадрат ; а пoсле рассмотрим возвышение и в другие степени.

153. Правило знаков при возвышении в квадрат. Из правила умножения относительных чисел следует, что:

Значит, квадрат всякого относительного числа есть число положительное.

154. Возвышение в квадрат произведения, степени и дроби.

а) Пусть требуется возвысить в квадрат произведение нескольких сомножителей, напр. аbс. Это значит, что требуется аbс умножить на аbс. Но чтобы умножить на произведение аbс, можно умножить множимое на а, результат умножить на b и что получатся умножить еще на с .

(аbс) 2 = (аbс) (аbс) = (аbс) аbс = аbсаbс

(мы отбросили последние скобки, так как от этого смысл выражения не изменяется). Теперь, пользуясь сочетательным свойством умножения (отдел1§ 34, б), сгруппируем сомножители так:

что можно сокращенно написать: а 2 b 2 с 2 .

Значит, чтобы возвысить произведение в квадрат, можно возвысить в квадрат каждый сомножитель отдельно
(Для сокращения речи правило это, как и последующее, выражено не полно; надо было бы еще добавить: „и полученные результаты перемножить». Добавление ото само собой подразумевается..)

( 3 /4 xy) 2 = 9 /16 x 2 y 2 ; (— 0,5mn) 2 = + 0,25m 2 n 2 ; и т. п.

б) Пусть требуется какую-нибудь степень, напр. a 3 , возвысить в квадрат. Это можно выполнить так:

(а 3 ) 2 = а 3 • а 3 = а 3+3 = а 6 .

Подобно этому: (х 4 ) 2 = x 4 • x 4 = x 4+4 = x 8

Значит, чтобы возвысить степень в квадрат, можно показатель степени умножить на 2.

Таким образом, применяя эти два правила, будем, напр., иметь:

(— 3 3 /4 a x 2 y 3 ) 2 = (— 3 3 /4 ) 2 a 2 (x 2 ) 2 (у 3 ) 2 = 225 /2 a 2 x 4 y 6

в) Пусть требуется возвысить в квадрат какую-нибудь дробь a /b. Тогда, применяя правило умножения дроби на дробь, получим:

Значит, чтобы возвысить в квадрат дробь, можно возвысить в квадрат отдельно числитель и знаменатель.

Возвышение в квадрат многочлена.

155. Вывод формулы. Пользуясь формулой (отдел2 глава3 § 61):

мы можем возвысить в квадрат трехчлен a + b + с, рассматривая его как двучлен (а + b) + с:

Таким образом, с прибавлением к двучлену а + b третьего члена с после возвышения в квадрат прибавились 2 члена: 1) удвоенное произведение суммы первых двух членов на третий член и 2) квадрат третьего члена. Приложим теперь к трехчлену а + b + с еще четвертый член d и возвысим четырехчлен а + b + с + d в квадрат, принимая сумму а + b + с за один член.

Подставив вместо (а + b +c) 2 то выражение, которое мы получили выше, найдем:

Мы опять замечаем, что с прибавлением нового члена к возвышаемому многочлену в квадрате его прибавляются 2 члена: 1) удвоенное произведение суммы прежних членов на новый член и 2) квадрат нового члена. Очевидно, что такое прибавление двух членов будет идти и дальше по мере прибавления новых членов к возвышаемому многочлену. Значит:

Квадрат многочлена равен: квадрату 1-го члена, плюс удвоенное произведение 1-го члена на 2-й, плюс квадрат 2-го члена, плюс удвоенное произведение суммы первых двух членов на 3-й, плюс квадрат 3-го члена, плюс удвоенное произведение суммы первых трех членов на 4-й, плюс квадрат 4-го члена, и т. д. Конечно, члены многочлена могут быть и отрицательными.

156. Замечание о знаках. В окончательном результате со знаком плюс окажутся, во-первых, квадраты всех членов многочлена и, во-вторых, те удвоенные произведения, которые произошли от умножения членов с одинаковыми знаками.

157. Сокращенное возвышение в квадрат целых чисел. Пользуясь формулою квадрата многочлена, можно возвышать в квадрат всякое целое число иначе, чем обыкновенным умножением. Пусть, напр., требуется возвысить в квадрат 86. Разложим это число на разряды:

86 = 80 + 6 = 8 дес.+ 6 ед.

Теперь по формуле квадрата суммы двух чисел можем написать:

(8 дес.+ 6 ед.) 2 =(8 дес.) 2 + 2(8 дес.) (6 ед.) + (6 ед.) 2 .

Чтобы быстрее вычислить эту сумму, примем во внимание, что квадрат десятков составляет сотни (но могут быть и тысячи); напр. 8 дес. в квадрате образуют 64 сотни, так как 80 2 = б400; произведение десятков на единицы составляет десятки (но могут быть и сотни), напр. 3 дес. • 5 ед. = 15 дес, так как 30 • 5 = 150; и квадрат единиц составляет единицы (но могут быть и десятки), напр. 9 ед. в квадрате = 81 ед. Поэтому вычисление всего удобнее расположить так:

т. е. мы пишем сначала квадрат первой цифры (сотни); под этим числом пишем удвоенное произведение первой цифры на вторую (десятки), наблюдая при этом, чтобы последняя цифра этого произведения стояла на одно место правее последней цифры верхнего числа; далее, снова отступив последней цифрой на одно место вправо, ставим квадрат второй цифры (единицы); и все написанные числа складываем в одну сумму. Конечно, можно было бы дополнить эти числа надлежащим количеством нулей, т. е. написать так:

но это бесполезно, если только будем правильно подписывать числа друг под другом, отступая каждый раз (последней цифрой) на одно место вправо.

Пусть еще требуется возвысить в квадрат 238. Так как:

238 = 2 сот. + 3 дес. + 8 ед., то

Но сотни в квадрате дают десятки тысяч (напр., 5 сот. в квадрате будет 25 дес. тысяч, так как 500 2 = 250 000), произведение сотен на десятки дает тысячи (напр. 500 • 30= 15 000) и т. д.

Графическое изображение функций: у = х 2 и у = ах 2 .

158. График функции у = х 2 . Проследим, как при изменении возвышаемого числа х изменяется квадрат его х 2 (напр., как при изменении стороны квадрата изменяется его площадь). Для этого предварительно обратим внимание на следующие особенности функции у = х 2 .

а) При всяком значении х функция всегда возможна и всегда получает только одно определенное значение. Напр, при х = — 10 функция будет (—10) 2 = 100, при
х =1000 функция будет 1000 2 =1 000 000, и т. п.

б) Так как (—х) 2 = х 2 , то при двух значениях х, отличающихся только знаками, получаются два одинаковые положительные значения у; напр, при х = — 2 и при х = + 2 значение у будет одно и то же, именно 4. Отрицательных значений для у никогда не получается.

в) Если абсолютная величина х неограниченно увеличивается, то и у неограниченно увеличивается. Так, если для х будем давать ряд неограниченно возрастающих положительных значений: 1, 2, 3, 4. или ряд неограниченно убывающих отрица тельных значений: —1, —2, —3, —4. то для у получим ряд неограниченно возрастающих значений: 1, 4, 9, 16, 25. Эти кратко выражают, говоря, что при x = + и при x = — функция у делается + .

г) Очень малому приращению переменного числа х соответствует и очень малое приращение функции у. Так, если значению х = 2, дадим приращение, положим, 0,1 (т. е. вместо х = 2 возьмем х = 2,1), то у вместо 2 2 = 4 сделается равным

(2 + 0,1) 2 = = 2 2 + 2 • 2 • 0,1 + 0,1 2 .

Значит, у увеличится на 2 • 2 • 0,1 + 0,1 2 = 0,41. Если тому же значению х дадим еще меньшее приращение, положим, 0,01, то у сделается равным

(2 + 0,01) 2 = = 2 2 + 2 • 2 • 0,01 + 0,01 2 ..

Значит, тогда у увеличится на 2 • 2 • 0,01 + 0,01 2 = 0,0401, т. е. увеличится меньше, чем прежде. Вообще, чем на меньшую дробь мы увеличим х, тем на меньшее число увеличится у. Таким образом, если представим себе, что х увеличивается (положим от значения 2) непрерывно , переходя через все значения, большие 2, то у будет увеличиватьcя тоже непрерывно, переходя через все значения, большие 4.

Заметив все эти свойства, составим таблицу значений функции у = х 2 , напр., такую:

Изобразим теперь эти значения на чертеже в виде точек, абсциссы которых будут выписанные значения х, а ординаты соответствующие значения у (на чертеже за единицу длины мы приняли сантиметр); полученные точки обведем кривою. Кривая эта называется параболой .

Рассмотрим некоторые ее свойства.

а) Парабола есть кривая непрерывная , так как при не прерывном изменении абсциссы х (как в положительном направлении, так и в отрицательном) ордината, как мы видели сейчас, изменяется тоже непрерывно.

б) Вся кривая расположена по одну сторону от оси x-ов, именно по ту сторону, по какую лежат положительные значения ординат.

в) Парабола подразделяется осью у-ов на две части (ветви). Точка О, в которой эти ветви сходятся, называется вершиною параболы. Эта точка есть единственная общая у параболы и оси x-ов; значит, в этой точке парабола касается оси x-ов.

г) Обе ветви бесконечны, так как х и у могут увеличиваться беспредельно. Ветви поднимаются от оси x-ов неограниченно вверх, удаляясь в то же время неограниченно от оси y-ов вправо и влево.

д) Ось y-ов служит для параболы осью симметрии, так что, перегнув чертеж по этой оси так, чтобы левая половина чертежа упала на правую, мы увидим, что обе ветви совместятся; напр, точка с абсциссой — 2 и с ординатой 4 совместитcя с точкой, имеющей абоциссу +2 и ту же ординату 4.

е) При х = 0 ордината тоже равна 0. Значит, при х = 0 функция имеет наименьшее значение из всех возможных. Наибольшего значения функция не имеет, так как ординаты кривой увеличиваются беспредельно.

159. График функции вида у = ах 2 . Предположим сначала, что а есть число положительное. Возьмем, напр., такие 2 функции:

Составим таблицы значений этих функции, напр., такие:

Нанесем все эти значения на чертеж и проведем кривые. Для сравнения мы поместили на том же чертеже (прерывистой линией) еще график функции:

Из чертежа видно, что при одной и той же абсциссе ордината 1-й кривой в 1 1 /2, раза больше, а ордината 2-й кривой в 3 раза меньше, чем ордината 3-й кривой. Вследствие этого все такие кривые имеют общий характер: бесконечные непрерывные ветви, ось симметрии и пр., только при а > 1 ветви кривой более приподняты вверх, а при a 2 . Все такие кривые называются параболамми .

Предположим теперь, что коэффициент а будет число отрицательное. Пусть, напр., y = — 1 /3 x 2 . Сравнивая эту функцию с такой: y = + 1 /3 x 2 замечаем, что при одном и том же значении х обе функции имеют одну и ту же абсолютную величину, но противоположны по знаку. Поэтому на чертеже для функции y = — 1 /3 x 2 получится такая же парабола, как и для функции y = 1 /3 x 2 только расположенная под осью х-ов симметрично с параболой y = 1 /3 x 2 . В этом случае все значения функции отрицательны, кроме одного, равного нулю при х = 0; это последнее значение является наибольшим из всех.

Замечание. Если зависимость между двумя переменными величинами у и х выражается равенством: у = ах 2 , где а какое-нибудь постоянное число, то можно сказать, что величина у пропорциональна квадрату величины х, так как с увеличением или уменьшением х в 2 раза, в 3 раза и т. д. величина у увеличивается или уменьшается в 4 раза, в 9 раз, в 16 раз и т. д. Напр, площадь круга равна π R 2 , где R есть радиус круга и π постоянное число (равное приблизительно 3,14); поэтому можно сказать, что площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса..

Возвышение в куб и в другие степени одночленных алгебраических выражений.

160. Правило знаков при возвышении в степень. Из правила умножения относительных чисел следует, что

(— 1) 6 = (— 1) (— 1) (— l) (—1) (—1) (—1) = +l; и т. п.

Значит, от возвышения отрицательного числа в степень с четным показателем получается положительное число, а от возвышения его в степень с нечетным показателем получается отрицательное число.

161. Возвышение в степень произведения, степени и дроби. При возвышении произведения степени и дроби в какую-нибудь степень мы можем поступать так же, как и при возвышении в квадрат ( § 154). Так:

(аbс) 3 = (аbс)(аbс)(аbс) = аbс • аbс • аbс = (ааа)(bbb)(ссс) = a 3 b 3 с 3 ;

Графическое изображение функций: у = х 3 и у = ах 3 .

162. График функции у = х 3 . Рассмотрим, как при изменении возвышаемого числа изменяется куб его (напр., как при изменении ребра куба изменяется его объем). Для этого предварительно укажем следующие особенности функции у = х 3 (напоминающие свойства функции у = х 2 , рассмотренные нами раньше, § 158):

а) При всяком значении х функция у = х 3 возможна и имеет единственное значение; так, (+ 5) 3 = +125 и никакому другому числу куб числа + 5 равняться не может. Подобно этому ( — 0,1) 3 = — 0,001 и никакому другому числу куб числа —0,1 равняться не может.

б) При двух значениях х, отличающихся только знаками, функция х 3 получает значения, также отличающиеся друг от друга только знаками; так, при х = 2 функция х 3 равна 8, а при х = — 2 она равна —8.

в) При возрастании х функция х 3 возрастает и притом быстрее, чем х, и даже быстрее, чем х 2 ; так при

г) Очень малому приращению переменного числа х соответствует и очень малое приращение функции х 3 . Так, если значение х = 2 увеличим на дробь 0,01, т. е. если вместо х = 2 возьмем x = 2,01, то функция у будет не 2 3 (т. е. не 8), а 2,01 3 , что составит 8,120601. Значит, функция эта увеличится тогда на 0,120601. Если значение х = 2 увеличим еще меньше, напр, на 0,001, то х 3 сделается равным 2,001 3 , что составит 8,012006001, и, значит, у увеличится только на 0,012006001. Мы видим, таким образом, что если приращение переменного числа х будет все меньше и меньше, то и приращение х 3 будет все меньше и меньше.

Заметив это свойство функции у = х 3 , начертим ее график. Для этого предварительно составим таблицу значений этой функции, напр., такую:

Для отрицательных значений х получатся для у те же часла, которые указаны в этой таблице, только со знаком —. Построим теперь точки, соответствующие взятым значениям х и у . Вследствие того, что ординаты у растут значительно быстрее абсцисс, удобнее на чертеже взять для ординат единицу длины меньшую, чем для абсцисс. Напр, для ординат взять 1 /2 см, а для абсцисс 1 см (как у нас на чертеже). Тогда, конечно, кривая окажется сжатою в вертикальном направлении. На построенном графике все свойства функции у = х 3 , которые мы сейчас указали, представляются вполне наглядными.

163. График функции у = aх 3 . Возьмем такие две функции:

Если сравним эти функции с более простой: у = х 3 , то заметим, что при одном и том же значении х первая функция получает значения вдвое меньшие, а вторая вдвое большие, чем функция у = aх 3 , во вcем остальном эти три функции сходны между собой. Графики их изображены для сравнения на одном и том же чертеже. Кривые эти называются параболами 3-й степени .

Основные свойства извлечения корня.

а) Найти сторону квадрата, которого площадь равнялась бы площади прямоугольника с основанием 16 см и с высотою 4 см.

Обозначив сторону искомого квадрата буквою х (см), получим такое уравнение:

Мы видим таким образом, что х есть такое число, которое, будучи возвышено во вторую степень, дает в результате 64. Такое число называется корнем второй степени из 64. Оно равно + 8 или — 8, так как (+ 8) 2 = 64 и (— 8) 2 = 64. Отрицательное число — 8 для нашей задачи не годится, так как сторона квадрата должна выразиться обыкновенным арифметическим числом.

б) Свинцовый кусок, весящий 1 кг 375 г (1375 г), имеет форму куба. Как велико ребро этого куба, если известно, что 1 куб. см свинца весит 11 граммов?

Пусть длина ребра куба будет х см. Тогда его объем будет равен х 3 куб. см, а вес его окажется 11 х 3 г.

11х 3 = 1375; х 3 = 1375 : 11 = 125.

Мы видим таким образом, что х есть такое число, которое, будучи возвышено в третью степень, составляет 125. Такое число называется корнем третьей степени из 125. Оно, как нетрудно догадаться, равно 5, так как 5 3 = 5 • 5 • 5 = 125. Значит, ребро куба, о котором говорится в задаче, имеет длину в 5 см.

165. Определение корня. Корнем второй степени (или квадратным) из числа а называется такое число, которого квадрат равняется а. Так, квадратный корень из 49 есть 7, а также и — 7, так как 7 2 = 49 и ( — 7) 2 = 49. Корнем третьей степени (кубичным) из числа а называется такое число, которого куб равняется а. Так, кубичный корень из —125 есть — 5, так как ( — 5) 3 =( —5)( —5)( —5)= —125.

Вообще корнем n-ой степени из числа а называется такое число, которого n -ая степень равна а.

Число n, означающее, какой степени находится корень, называется показателем корня .

Корень обозначается знаком √ (знак радикала, т. е. знак корня). Латинское слово radix означает корень. Знак √ впервые введен в XV столетии. . Под горизонтальной чертой его пишут то число, из которого корень отыскивается (подкоренное число), а над отверстием угла ставят показатель корня. Так:

корень кубичный из 27 обозначается. 3 √ 27 ;

корень четвертой степени из 32 обозначается . 3 √ 32 .

Показатель квадратного корня принято не писать вовсе, напр.

вместо 2 √ 16 пишут √ 16 .

Действие, посредством которого отыскивается корень, называется извлечением корня; оно обратно возвышению в степень, так как посредством этого действия отыскивается то, что дано при возвышении в степень, именно основание стенени, а дано то, что при возвышении в степень отыскивается, именно сама степень. Поэтому правильность извлечения корня мы можем всегда поверять возвышением в степень. Напр., чтобы проверить

равенство: 3 √ 125 = 5, достаточно 5 возвысить в куб: получив подкоренное число 125, мы заключаем, что корень кубичный из 125 извлечен правильно.

166. Арифметический корень. Корень называется арифметическим, если он извлекается из положительного числа и сам представляет собою положительное число. Напр., арифметический квадратный корень из 49 есть 7, тогда как число — 7, которое тоже есть квадратный корень из 49, нельзя назвать арифметическим.

Укажем следующие два свойства арифметического корня.

а) Пусть требуется найти арифметический √ 49 . Такой корень будет 7, так как 7 2 = 49. Зададимся вопросом, нельзя ли подыскать какое-нибудь другое положительное число х, которое тоже было бы √ 49 . Предположим, что такое число существует. Тогда оно должно быть либо меньше 7, либо больше 7. Если допустим, что x 2 7, то тогда и х 2 >49. Значит, никакое положительное число, ни меньшее 7, ни большее 7, не может равняться √ 49 . Таким образом арифметический корень данной степени из данного числа может быть только один.

К другому заключению мы пришли бы, если бы говорили не о положительном значении корня, а о каком-нибудь; так, √ 49 равен и числу 7, и числу — 7, так как и 7 2 = 49 и ( — 7) 2 = 49.

б) Возьмем какие-нибудь два неравные положительные числа, напр. 49 и 56. Из того, что 49 3 √ 64 3 √ 125

Действительно: 3 √ 64 = 4 и 3 √ 125 = 5 и 4 na разумеется алгебраический корень n -й степени, то это значит, что число а может быть и положительное и отрицательное, и самый корень может быть и положительным и отрицательным.

Укажем следующие 4 свойства алгебраического корня.

а) Корень нечетном степеци из положительного числа есть положительное число.

Так, 38 должен быть числом положительным (он равен 2), так как отрицательное число, возвышенное в степень с нечетным показателем, дает отрицательное число.

б) Корень нечетной степени из отрицательною числа есть отрицательное число.

Так, 3—8 должен быть отрицательным числом (он равен —2), так как положительное число, возвышенное в какую бы то ни было степень, дает положительное число, а не отрицательное.

в) Корень четной степени из положительного числа имеет два значения с противоположными знаками и с одинаковой абсолютной величиной.

Так, √ +4 = + 2 и √ +4 = — 2, потому что (+ 2) 2 = + 4 и (— 2) 2 = + 4; точно так же 4+81 = + 3 и 4+81 = — 3, потомуу что обе степени (+3) 4 и (—3) 4 равны одному и тому же числу. Двойное значение корня обозначается обыкновенно постановкою двух знаков перед абсолютной величиной корня; так пишут:

г) Корень четной степени из отрицательного числа не может равняться никакому ни положительному, ни отрицательному числу, так как и то и другое после возвышения в степень с четным показателем дает положительное число, а не отрицательное. Напр., √ —9 не равен ни +3, ни —3 и никакому иному числу.

Корень четной степени из отрицательного числа принято называть мнимым числом; относительные же числа называются вещественными , или действительными , числами.

168. Извлечение корня из произведения, из степени и из дроби.

а) Пусть надо извлечь квадратный корень из произведения аbс. Если бы требовалось произведение возвысить в квадрат, то, как мы видели (§ 154), можно возвысить в квадрат каждый сомножитель отдельно. Так как извлечение корня есть действие, обратное возвышению в степень, то надо ожидать, что и для извлечения корня из произведения можно извлечь его из каждого сомножителя отдельно, т. е. что

Чтобы убедиться в верности этого равенства, возвысим правую часть его в квадрат (по теореме: чтобы возвысить в степень произведение. ):

Но, согласно определению корня,

Если же квадрат произведения √ a b c равен аbс, то это значит, что произведение это равно квадратному корню из abc.

Значит, чтобы извлечь корень из произведения, достаточно извлечь его из каждого сомножители отдельно.

б) Легко убедиться поверкою, что следующие равенства верны:

Значит, чтобы извлечь корень из степени, показатель которой делится на показатель корня, можно разделить показатель степени на показатель корня.

в) Верны будут также и следующие равенства:

Значит, чтобы извлечь корень из дроби, можно изелень сю из числителя и знаменателя отоельно.

Заметим, что в этих истинах предполагается, что речь идет о корнях арифметических.

Замечание Если искомый корень четной степени и предполагается алгебраический, то перед найденным результатом надо поставить двойной знак ± Так,

169. Простейшие преобразования радикалов,

а) Вынесение множителей за знак радикала. Если подкоренное выражение разлагается на такие множители, что из некоторых из них можно извлечь корень, то такие множители, по извлечении из них корня, могут быть написаны перед знаком радикала (могут быть вынесены за знак радикала).

б) Подведение множителей под знак радикала. Иногда бывает полезно, наоборот, подвести под знак радикала множители, стоящие перед ним; для этого достаточно возвысить такие множители в степень, показатель которой равен показателю радикала, а затем написать множителями под знаком радикала.

в) Освобождение подкоренного выражения от знаменателей. Покажем это на следующих примерах:

1) Преобразуем дробь так, чтобы из знаменателя можно было извлечь квадратный корень. Для этого умножим оба члена дроби на 5:

2) Умножим оба члена дроби на 2, на а и на х, т. е. на 2ах:

Замечание. Если требуется извлечь корень из алгебраической суммы, то было бы ошибочно извлечь его из каждого слагаемого отдельно. Напр.√ 9 + 16 = √ 25 = 5, тогда как
9 + √ 16 = 3 + 4 = 7; значит, действие извлечения корня по отношению к сложению (и вычитанию) не обладает распределительным свойством (как и возвышение в степень, отдел 2 глава 3 § 61, замечание).

oldskola1.narod.ru

Смотрите так же:

  • Штрафы по отчету есв 2018 Единый социальный взнос - 2018 (ЕСВ) 9. Часто зaдаваемые вопросы о EСВ ·03· ИНК ГФCУ №183/6/99-99-. /ІПК oт 17.01.18 - начисление на декретные, больничные инвалиду. ·04· 27.03.2018 Видeо Материальная помощь: предоставление, […]
  • Приказ 736 мчс Приказ МЧС России от 18 ноября 2013 г. N 736 "Об утверждении знака различия лиц рядового и начальствующего состава подразделений федеральной противопожарной службы Государственной противопожарной службы, созданных в целях организации […]
  • Пенсии инвалидам детства 3 группы в 2018 году Пенсия инвалидам 3 группы – кому положена, особенности начисления и размер В жизни каждого человека могут произойти ситуации, при которых нанесено вред здоровью. Некоторым удается вылечить себя, а некоторым единственным выходом из […]
  • Нотариус зимина светлана Все Нотариусы Москвы Нотариусы и нотариальные конторы Москвы по станциям метро. Удобный поиск и актуальная информация: адреса нотариусов, схема проезда, контактная информация, график работы нотариусов, отзывы о нотариусах Москвы. Нотариус […]
  • Платежка по налогу на прибыль авансовые платежи Платежка по налогу на прибыль: образец 2017 года Обновление: 4 октября 2017 г. Образец платежного поручения по налогу на прибыль Обязанность по уплате налога на прибыль будет считаться исполненной после расчета налога, составления […]
  • Плательщик единого налога 3% Единый налог - 3 группа (2018) Смотрите Часто задаваемые вoпросы о 3 группе Основные ограничения с 2016 года (актуальны и в 2018 году): 1) годовой лимит дохода - дo 5 000 000 гpивен (было в 2015 гoду 20 000 000 гривен). 3) лимита наемных […]