Закон равноускоренного движения по окружности

I. Механика

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть период T. Путь, который преодолевает точка — это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Вращение Земли

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Связь со вторым законом Ньютона

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна vA и vB соответственно. Ускорение — изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Разница векторов есть . Так как , получим

Движение по циклоиде*

В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

Мгновенная скорость определяется по формуле

fizmat.by

Закон равноускоренного движения по окружности

1.6. Движение по окружности

Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Наряду с вектором перемещения удобно рассматривать угловое перемещение Δφ (или угол поворота ), измеряемое в радианах (рис. 1.6.1). Длина дуги связана с углом поворота соотношением

При малых углах поворота Δ l ≈ Δ s .

Угловой скоростью ω тела в данной точке круговой траектории называют предел (при Δ t → 0 ) отношения малого углового перемещения Δφ к малому промежутку времени Δ t :

Угловая скорость измеряется в рад/с .

Связь между модулем линейной скорости υ и угловой скоростью ω :

При равномерном движении тела по окружности величины υ и ω остаются неизменными. В этом случае при движении изменяется только направление вектора

Равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением. Ускорение

Для доказательства этого выражения рассмотрим изменение вектора скорости за малый промежуток времени Δ t . По определению ускорения

Векторы скоростей и в точках A и B направлены по касательным к окружности в этих точках. Модули скоростей одинаковы υ A = υ B = υ .

Из подобия треугольников OAB и BCD (рис. 1.6.2) следует:

При малых значениях угла Δφ = ωΔ t расстояние | AB | =Δ s ≈ υΔ t . Так как | OA | = R и | CD | = Δυ , из подобия треугольников на рис. 1.6.2 получаем:

При малых углах Δφ направление вектора приближается к направлению на центр окружности. Следовательно, переходя к пределу при Δ t → 0 , получим:

При изменении положения тела на окружности изменяется направление на центр окружности. При равномерном движении тела по окружности модуль ускорения остается неизменным, но направление вектора ускорения изменяется со временем. Вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру. Поэтому ускорение при равномерном движении тела по окружности называется центростремительным.

В векторной форме центростремительное ускорение может быть записано в виде

Если тело движется по окружности неравномерно, то появляется также касательная (или тангенциальная ) составляющая ускорения (см. §1.1):

В этой формуле Δυτ = υ2 – υ1 – изменение модуля скорости за промежуток времени Δ t .

Направление вектора полного ускорения определяется в каждой точке круговой траектории величинами нормального и касательного ускорений (рис. 1.6.3).

Движение тела по окружности можно описывать с помощью двух координат x и y (плоское движение). Скорость тела в каждый момент можно разложить на две составляющие υ x и υ y (рис. 1.6.4).

При равномерном вращении тела величины x , y , υ x , υ y будут периодически изменяться во времени по гармоническому закону с периодом

physics.ru

Движение по окружности.

1.Равномерное движение по окружности

2.Угловая скорость вращательного движения.

5.Связь линейной скорости с угловой.

7.Равнопеременное движение по окружности.

8.Угловое ускорение в равнопеременном движении по окружности.

10.Закон равноускоренного движения по окружности.

11. Средняя угловая скорость в равноускоренном движении по окружности.

12.Формулы, устанавливающие связь между угловой скоростью, угловым ускорением и углом поворота в равноускоренном движении по окружности.

1.Равномерное движение по окружности – движение, при котором материальная точка за равные интервалы времени проходит равные отрезки дуги окружности, т.е. точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. В этом случае скорость равна отношению дуги окружности, пройденной точкой ко времени движения, т.е.

и называется линейной скоростью движения по окружности.

Как и в криволинейном движении вектор скорости направлен по касательной к окружности в направлении движения (Рис.25).

2. Угловая скорость в равномерном движении по окружности – отношение угла поворота радиуса ко времени поворота:

В равномерном движении по окружности угловая скорость постоянна. В системе СИ угловая скорость измеряется в(рад/c). Один радиан – рад это центральный угол, стягивающий дугу окружности длиной равной радиусу. Полный угол содержит радиан, т.е. за один оборот радиус поворачивается на угол радиан.

3. Период вращения – интервал времени Т, в течении которого материальная точка совершает один полный оборот. В системе СИ период измеряется в секундах.

4. Частота вращения – число оборотов , совершаемых за одну секунду. В системе СИ частота измеряется в герцах ( 1Гц = 1 ) . Один герц – частота, при которой за одну секунду совершается один оборот. Легко сообразить, что

Если за время t точка совершает n оборотов по окружности то .

Зная период и частоту вращения, угловую скорость можно вычислять по формуле:

или

5 Связь линейной скорости с угловой. Длина дуги окружности равна где центральный угол, выраженный в радианах, стягивающий дугу радиус окружности. Теперь линейную скорость запишем в виде

, где .

Часто бывает удобно использовать формулы: или Угловую скорость часто называют циклической частотой, а частоту линейной частотой.

6. Центростремительное ускорение. В равномерном движении по окружности модуль скорости остаётся неизменным , а направление её непрерывно меняется (Рис.26). Это значит, что тело, движущееся равномерно по окружности, испытывает ускорение, которое направлено к центру и называется центростремительным ускорением.

Пусть за промежуток времени прошло путь равный дуге окружности . Перенесём вектор , оставляя его параллельным самому себе, так чтобы его начало совпало с началом вектора в точке В. Модуль изменения скорости равен , а модуль центростремительного ускорения равен

На Рис.26 треугольники АОВ и ДВС равнобедренные и углы при вершинах О и В равны, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами АО и ОВ Это значит, что треугольники АОВ и ДВС подобные. Следовательно Если то есть интервал времени принимает сколь угодно малые значения, то дугу можно приближенно считать равной хорде АВ, т.е. . Поэтому можем записать Учитывая, что ВД= , ОА=R получим Умножая обе части последнего равенства на , получим и далее выражение для модуля центростремительного ускорения в равномерном движении по окружности: . Учитывая, что получим две часто применяемые формулы:

, .

Итак, в равномерном движении по окружности центростремительное ускорение постоянно по модулю.

Легко сообразить, что в пределе при , угол . Это значит, что углы при основании ДС треугольника ДВС стремятся значению , а вектор изменения скорости становится перпендикулярным к вектору скорости , т.е. направлен по радиусу к центру окружности.

7. Равнопеременное движение по окружности – движение по окружности, при котором за равные интервалы времени угловая скорость изменяется на одну и ту же величину.

8. Угловое ускорение в равнопеременном движении по окружности – отношение изменения угловой скорости к интервалу времени , в течении которого это изменение произошло, т.е.

,

где начальное значение угловой скорости, конечное значение угловой скорости, угловое ускорение, в системе СИ измеряется в . Из последнего равенства получим формулы для вычисления угловой скорости

и , если .

Умножая обе части этих равенств на и учитывая, что , — тангенциальное ускорение, т.е. ускорение, направленное по касательной к окружности , получим формулы для вычисления линейной скорости:

и , если .

9. Тангенциальное ускорение численно равно изменению скорости в единицу времени и направлено вдоль касательной к окружности. Если >0, >0, то движение равноускоренное. Если

Дата добавления: 2015-08-08 ; просмотров: 6374 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

helpiks.org

Равномерное и неравномерное движение тела по окружности

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Частным случаем криволинейного движения — является движение по окружности. Движение по окружности, даже равномерное, всегда есть движение ускоренное: модуль скорости все время направлен по касательной к траектории, постоянно меняет направление, поэтому вектор ускорения при движении по окружности направлен к центру окружности и перпендикулярно вектору скорости.

Окружность — плоская фигура, поэтому движение по окружности является плоским движением.

Равномерное движение по окружности — это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени описывает одинаковые дуги.

Положение тела на окружности определяется радиусом-вектором $\overrightarrow=R$, проведенным из центра окружности. Модуль радиуса-вектора равен радиусу окружности: $\left|\overrightarrow\right|=R$.

Рисунок 1. Скорость и перемещение при движении по окружности

За время ∆t тело, двигаясь из точки А в точку В, совершает перемещение $\triangle r$, равное хорде АВ, и проходит путь, равный длине дуги l. Радиус-вектор поворачивается на угол $<\mathbf ∆>$$<\mathbf \varphi >$. Угол выражают в радианах.

Скорость $\overrightarrow$ движения тела по окружности направлена по касательной к траектории. Она называется линейной скоростью. Модуль линейной скорости равен отношению длины дуги окружности l к промежутку времени $\triangle t$, за который эта дуга пройдена: $v=\frac<\triangle t>$

Скалярная физическая величина, численно равная отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел, называется средней угловой скоростью: $\omega =\frac<\triangle \varphi ><\triangle t>$. В СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду.

При равномерном движении по окружности угловая скорость и модуль линейной скорости — величины постоянные: $ <\mathbf \omega >=const$; $v=const$.

Положение тела можно определить, если известен модуль радиуса- вектора $\overrightarrow$ и угол $<\mathbf \varphi >$, который он составляет с осью $Ох$ (угловая координата). Если в начальный момент времени $t_0=0$ угловая координата равна $\varphi $0, а в момент времени t она равна $\varphi $, то угол поворота $∆$$\varphi $ радиуса-вектора за время $∆t=t-t_0$ равен $∆$$\varphi $=$\varphi $-$\varphi $0. Тогда из последней формулы можно получить закон равномерного движения материальной точки по окружности:

$\varphi = \varphi_0 +\omega t$

Он позволяет определить положение тела в любой момент времени $t$.

Учитывая, что $\triangle \varphi =\frac<1>$, получаем формулу связи между линейной и угловой скоростью: $\omega =\frac=\frac$

При движении по окружности, как и при всяком криволинейном движении, ускорение можно представить как сумму нормальной $<\overrightarrow>_n$и тангенциальной $<\overrightarrow>_<\tau >$составляющих: $\overrightarrow=<\overrightarrow>_<\tau >+<\overrightarrow>_n$

При равномерном движении по окружности линейная скорость постоянна, и тангенциальная составляющая ускорения $<\overrightarrow>_<<\mathbf \tau >>$=0. Следовательно, в этом случае $\overrightarrow=<\overrightarrow>_n$.

Рисунок 2. Ускорение и скорость при равномерном движении по окружности

Ускорение равномерного движения по окружности

Кроме центростремительного ускорения, важнейшими характеристиками равномерного движения по окружности являются период и частота обращения.

Период обращения $T=\frac=\frac<2\pi R>$ — это время, за которое тело совершается один оборот.

Частота обращения$\ \ \nu =\frac$ — это величина, численно равная числу оборотов, совершенных за единицу времени. Измеряется частота в 1/с.

Период и частота — величины взаимно обратные: $\nu =\frac<1>$

При неизменной частоте обращения центростремительное ускорение прямо пропорционально расстоянию от движущейся частицы до центра вращения.

Неравномерное движение по окружности отличается от равномерного только тем, что тангенциальная составляющая ускорения $<\overrightarrow>_<<\mathbf \tau >>\ne 0$, а линейная скорость v(t) и угловая скорость $<\mathbf \omega >$(t) непостоянны, а являются функциями времени.

В угловых координатах для движения по окружности с угловой скоростью $\omega \left(t\right)=\frac

$, и угловым ускорением $\varepsilon =\frac

=\frac$, получаем закон равнопеременного движения по окружности: $\varphi \left(t\right)=<\varphi >_0+\omega \left(t\right)t+\varepsilon \frac<2>$ , где $\omega \left(t\right)=\frac;;\ \ \ \ \varepsilon =\frac>$.

Лень читать?

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

spravochnick.ru

Равноускоренное движение: формулы, примеры

Равноускоренное движение

Равноускоренное движение — это движение с ускорением, вектор которого не меняется по модулю и направлению. Примеры такого движения: велосипед, который катится с горки; камень брошенный под углом к горизонту.

Рассмотрим последний случай более подробно. В любой точке траектории на камень действует ускорение свободного падения g → , которое не меняется по величине и всегда направлено в одну сторону.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить в виде суммы движений относительно вертикальной и горизонтальной осей.

Вдоль оси X движение равномерное и прямолинейное, а вдоль оси Y — равноускоренное и прямолинейное. Будем рассматривать проекции векторов скорости и ускорения на оси.

Формулы для равноускоренного движения

Формула для скорости при равноускоренном движении:

Здесь v 0 — начальная скорость тела, a = c o n s t — ускорение.

Покажем на графике, что при равноускоренном движении зависимость v ( t ) имеет вид прямой линии.

Ускорение можно определить по углу наклона графика скорости. На рисунке выше модуль ускорения равен отношению сторон треугольника ABC.

a = v — v 0 t = B C A C

Чем больше угол β , тем больше наклон (крутизна) графика по отношению к оси времени. Соответственно, тем больше ускорение тела.

Для первого графика: v 0 = — 2 м с ; a = 0 , 5 м с 2 .

Для второго графика: v 0 = 3 м с ; a = — 1 3 м с 2 .

По данному графику можно также вычислить перемещение тела за время t . Как это сделать?

Выделим на графике малый отрезок времени ∆ t . Будем считать, что он настолько мал, что движение за время ∆ t можно считать равномерным движением со скоростью, равной скорости тела в середине промежутка ∆ t . Тогда, перемещение ∆ s за время ∆ t будет равно ∆ s = v ∆ t .

Разобьем все время t на бесконечно малые промежутки ∆ t . Перемещение s за время t равно площади трапеции O D E F .

s = O D + E F 2 O F = v 0 + v 2 t = 2 v 0 + ( v — v 0 ) 2 t .

Мы знаем, что v — v 0 = a t , поэтому окончательная формула для перемещения тела примет вид:

s = v 0 t + a t 2 2

Для того, чтобы найти координату нахождения тела в данный момент времени, нужно к начальной координате тела добавить перемещение. Изменение координаты при равноускоренном движении выражает закон равноускоренного движения.

Закон равноускоренного движения

y = y 0 + v 0 t + a t 2 2 .

Еще одна распространенная задача, которая возникает при анализе равноускоренного движения — нахождение перемещения при заданных значениях начальной и конечной скоростей и ускорения.

Исключая из записанных выше уравнений t и решая их, получаем:

s = v 2 — v 0 2 2 a .

По известным начальной скорости, ускорению и перемещению можно найти конечную скорость тела:

v = v 0 2 + 2 a s .

При v 0 = 0 s = v 2 2 a и v = 2 a s

Величины v , v 0 , a , y 0 , s , входящие в выражения, являются алгебраическими величинами. В зависимости от характера движения и направления координатных осей в условиях конкретной задачи они могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

www.zaochnik.com

Смотрите так же:

  • Субсидия на покупку жилья челябинск У Вас остались вопросы? Желающим приобрести квартиру по программе Фонда ПИК необходимо: 2. Получить одобрение в одном из банков (иной кредитной или некредитной организации), являющихся партнерами застройщика, на предоставление ипотечного […]
  • Пособия на гемоглобин Все выплаты и пособия для беременных в России в 2018 году Всем беременным женщинам полагаются льготы и компенсации, независимо от того, работает ли она или нет. Финансовая помощь гарантируется государством, однако размер этой помощи […]
  • Приказ минтруда от 11102012 310н Приказ Министерства труда и социальной защиты РФ от 11 октября 2012 г. N 310н "Об утверждении Порядка организации и деятельности федеральных государственных учреждений медико-социальной экспертизы" (с изменениями и дополнениями) Приказ […]
  • Постановление по удо 2018 Постановление по удо 2018 Более 30,8 млн. рублей задолженности по заработной плате погашено в результате принятых органами прокуратуры Вологодской области мер реагирования В действительности основные нормы законодательства Российской […]
  • Красота есть в ней залог успокоения Красота есть гармония; в ней залог успокоения… Добавить комментарий Тогда только очищается чувство, когда соприкасается. Тогда только очищается чувство, когда соприкасается с красотою высшей, с красотою идеала. Искусство есть такая […]
  • Заявление по форме 14001 при выходе участника Как правильно заполнить форму р14001 при выходе участника и образец заполнения при смене учредителя? Все изменения данных о юридических и физических лицах, находящихся в обществе одной организации, необходимо регистрировать с помощью […]