Основное свойство дробей правило

Основные свойства дробей

Если числитель дроби меньше знаменателя, то такая дробь называется правильной, а если числитель больше знаменателя, то неправильной. В неправильной дроби можно выделить целую часть.

Свойства дробей

Сложение и вычитание дробей. Чтобы сложить (вычесть) две дроби с одинаковыми знаменателями нужно сложить (вычесть) их числители:

Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями нужно привести их общему знаменателю, а потом сложить числители (вычесть из первого числителя второй):

Умножение и деление дробей. Чтобы умножить две обыкновенные дроби нужно умножить их числители и знаменатели:

Чтобы умножить дробь на число нужно умножить числитель дроби на это число:

Чтобы разделить одну дробь на другую нужно первую дробь умножить на дробь, обратную ко второй:

Сравнение дробей. Чтобы сравнить две дроби, нужно привести их одному знаменателю и сравнить числители. У какой дроби числитель больше та дробь и больше.

Основное свойство дроби. Числитель и знаменатель дроби можно умножать и делить на одно и то же число, при этом величина дроби не изменится:

ru.solverbook.com

Основное свойство дроби, формулировка, доказательство, примеры применения.

Подробно разобрано основное свойство дроби, дана его формулировка, приведено доказательство и поясняющий пример. Также рассмотрено применение основного свойства дроби при сокращении дробей и приведении дробей к новому знаменателю.

Навигация по странице.

Основное свойство дроби – формулировка, доказательство и поясняющие примеры

Все обыкновенные дроби обладают одним очень важным свойством, которое называют основным свойством дроби. Сформулируем основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

Запишем основное свойство дроби в буквенном виде: для натуральных чисел a , b и m справедливы равенства и .

Приведем доказательство основного свойства дроби. Равенства (a·m)·b=(b·m)·a и (a:m)·b=(b:m)·a справедливы в силу свойств умножения натуральных чисел и свойств деления натуральных чисел, тогда дроби и , а также и равны по определению (смотрите равные и неравные дроби).

Давайте рассмотрим пример, иллюстрирующий основное свойство дроби. Пусть у нас есть квадрат, разделенный на 9 «больших» квадратов, а каждый из этих «больших» квадратов разделен на 4 «маленьких» квадрата. Таким образом, можно также говорить, что исходный квадрат разделен на 4·9=36 «маленьких» квадратов. Закрасим 5 «больших» квадратов. При этом закрашенными окажутся 4·5=20 «маленьких» квадратов. Приведем рисунок, отвечающий нашему примеру.

Закрашенная часть составляет 5/9 исходного квадрата, или, что то же самое, 20/36 исходного квадрата, то есть, дроби 5/9 и 20/36 равны: или . Из этих равенств, а также из равенств 20=5·4 , 36=9·4 , 20:4=5 и 36:4=9 следует, что и .

Для закрепления разобранного материала рассмотрим решение примера.

Числитель и знаменатель некоторой обыкновенной дроби умножили на 62 , после чего числитель и знаменатель полученной дроби разделили на 2 . Равна ли полученная дробь исходной?

Умножение числителя и знаменателя дроби на любое натуральное число, в частности на 62 , дает дробь, которая в силу основного свойства дроби, равна исходной. Основное свойство дроби позволяет утверждать и то, что после деления числителя и знаменателя полученной дроби на 2 получится дробь, которая будет равна исходной дроби.

да, полученная дробь равна исходной.

Применение основного свойства дроби

Основное свойство дроби в основном применяется в двух случаях: во-первых, при приведении дробей к новому знаменателю, и, во-вторых, при сокращении дробей.

Приведение дроби к новому знаменателю – это замена исходной дроби равной ей дробью, но с большим числителем и знаменателем. Для приведения дроби к новому знаменателю и числитель, и знаменатель дроби умножается на некоторое натуральное число, при этом, согласно основному свойству дроби, получается дробь, равная исходной, но с другим числителем и знаменателем. Без приведения дробей к новому знаменателю не обойтись при выполнении действий с обыкновенными дробями.

Основное свойство дроби позволяет проводить сокращение дробей, и в результате переходить от исходной дроби к равной ей дроби, но с меньшим числителем и знаменателем. Сокращение дроби заключается в делении числителя и знаменателя исходной дроби на любой отличный от единицы положительный общий делитель числителя и знаменателя (если таких общих делителей нет, то исходная дробь несократима, то есть, не подлежит сокращению). В частности, деление на наибольший общий делитель приведет исходную дробь к несократимому виду.

www.cleverstudents.ru

Чтобы сравнить, сложить или вычесть обыкновенные дроби с разными знаменателями, их нужно вначале привести к одинаковому (одному) знаменателю.

Для этого число, от которого взята часть долями (количество долей числа определяет знаменатель), разбивается на большее число долей так, чтобы все знаменатели дробей были кратны между собой.

Например, нужно сравнить, сложить или вычесть дроби и . Рассмотрим на рисунке дробление на доли (1 разделили на 4 части и 1 разделили на 2 части), за целое принимается 1.

Разделив на 2 доли, получаем наглядное сравнение.

Значит, , так как в доли содержится 2 доли по Запишем: . По правилам арифметики: Выделим простые множители в числителе и знаменателе:

Приведенные рисунки позволяют вывести правило, называемое основным свойством дроби.

Правило. Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же натуральное число, от чего величина дроби не изменяется.

Если числитель новой дроби представить произведением (или частным) первой дроби и любого натурального числа, а знаменатель новой дроби — произведением (или частным) знаменателя первой дроби и того же числа, то новая дробь сохраняет при вычислении произведений (или частных) значение (величину) исходной дроби, поэтому между заданной и полученной дробью можно ставить знак равенства.

Можно записать основное свойство дроби при умножении числителя и знаменателя дроби на число:

Можно записать основное свойство дроби при делении числителя и знаменателя дроби на число:

Основное свойство дроби

Дробь это число записываемое с помощью двух натуральных чисел, которые разделены между собой чертой. Например, 1/2, 14/4, ¾, 5/9 и т.д. Цифра, которая записана сверху над чертой, называется числителем дроби, а цифра записанная под чертой, называется знаменателем дроби.

Цифра 2 числитель дроби.

Цифра 3 знаменатель дроби.

Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей было поделено целое. Числитель дроби показывает, сколько таких частей взято. Например, имеется пирог. И его разделили на 7 равных частей. Три части отдали Кате, две части отдали Вите, и еще две части отдали Сереже.

Получается, у Кати 3/7 пирога, у Вити 2/7 пирога и у Сережи тоже 2/7 пирога.

Дроби бывают правильные и неправильные.

  • Дробь, в которой числитель дроби меньше знаменателя дроби называют правильно дробью.
  • Дробь, в которой числитель дроби, больше знаменателя дроби или равен ему, называют неправильно дробью.
  • Основное свойство дроби и его применение

    Если числитель и знаменатель дроби умножить или поделить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится. Другими словами, получится новая дробь равная исходной.

    • Например, 2/3 = 6/9, или 12/5 = 24/10, или 9/15 = 3/5.

    Две равные между собой дроби являются различными записями одного и того же числа.

    Основное свойство дроби используется при сокращении дробей.

    Например, если числитель и знаменатель дроби 20/25 поделить на 5, то получим равную ей дробь 4/5, то есть 20/25 = 4/5.

    Сокращение дробей

    Сокращением дроби называется деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, который не равен единице. Но не все дроби можно сократить. Например, дробь 4/5, так как числа 4 и 5 не имеют общего делителя кроме единицы.

    Такие числа называют взаимно простыми. А дробь в этом случае называется несократимой.

    www.nado5.ru

    Виды дробей

    Обыкновенная дробь — это частное двух натуральных чисел, одно из которых записано в числителе дроби, а второе — в знаменателе. Виды обыкновенных дробей определяются сравнением числителя и знаменателя дроби.

    Определение. Если числитель дроби (натуральное число) меньше ее знаменателя (натурального числа), то дробь называется правильной .

    Определение. Если числитель дроби (натуральное число) больше ее знаменателя (натурального числа) или равен ему, то дробь называется неправильной .

    Перевод неправильной дроби в смешанную дробь — это выделение натурального числа из дроби.

    Определение. Если дробь состоит из натурального числа (целая часть) и правильной дроби (дробная часть), то такая дробь называется смешанной (дробное число).

    Правило. Любую смешанную дробь можно перевести в неправильную, для чего нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и к произведению прибавить числитель дробной части, сумму взять числителем, подписав тот же знаменатель.

    Правило. Любую неправильную дробь можно заменить смешанной дробью, для этого необходимо числитель неправильной дроби разделить на ее знаменатель, полученное частное взять целой частью дроби, а остаток (если он есть) — числителем дробной части смешанной дроби, подписав под ним тот же знаменатель.

    Правило. Числитель и знаменатель дроби можно умножать (делить) на одно и то же натуральное число, от этого величина дроби не изменяется.

    Основное свойство дроби используется при сокращении дробей и при приведении двух и более дробей к одинаковому знаменателю.

    Правило. Любое натуральное число можно записать в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1 (единица). Такая дробь будет неправильной.

    shkolo.ru

    Смотрите так же:

    • Заявление по форме 14001 при выходе участника Как правильно заполнить форму р14001 при выходе участника и образец заполнения при смене учредителя? Все изменения данных о юридических и физических лицах, находящихся в обществе одной организации, необходимо регистрировать с помощью […]
    • Экскурсии с проживанием в спб Тур по Питеру с проживанием на 5 дней Подарите себе пятидневный тур в Санкт-Петербург! Красоты Северной столицы стоят того, чтобы вы смогли увидеть их хотя бы раз. Тур в Санкт-Петербург на 5 дней, цена которого сейчас сравнительно […]
    • Элементы налогов и их характеристика шпаргалка Элементы налогов и их характеристика шпаргалка 3. ЭЛЕМЕНТЫ НАЛОГА Элементы налога – необходимый минимум параметров, без нормативного закрепления которых налог не может считаться законно установленным. Объект налогообложения – юридические […]
    • Юристы по делам алиментов Калькулятор расчета алиментов К сожалению, реалии жизни таковы, что многим приходится сталкиваться с проблемой развода. При наличии детей, добавляется головная боль по поводу выплаты или взыскания алиментов. Иногда, бывшие супруги […]
    • Правила дифференцирования с примерами Правила дифференцирования с примерами На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования. Примеры. Найти производные функций. 1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Применяем правило I, формулы 4, 2 и 1. […]
    • Пакет документов на пособие на погребение ЧТО ВАЖНО ЗНАТЬ О НОВОМ ЗАКОНОПРОЕКТЕ О ПЕНСИЯХ Выплата неполученных сумм пенсий в связи со смертью пенсионера Начисленные суммы пенсии, причитавшиеся пенсионеру в текущем месяце и оставшиеся неполученными в связи с его смертью в […]