Правило правильной дроби

Вычитание обыкновенных дробей: правила, примеры, решения.

Продолжаем изучать действия с обыкновенными дробями. Здесь мы разберемся, как проводится вычитание обыкновенных дробей. Сначала получим правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Дальше рассмотрим вычитание дробей с разными знаменателями и приведем примеры вычитания с подробными решениями. После этого остановимся на вычитании дроби из натурального числа и вычитании числа из дроби. В заключение покажем, как проводится вычитание обыкновенных дробей с использованием свойств этого действия.

Сразу заметим, что в этой статье мы будем говорить лишь о вычитании меньшей дроби из большей дроби. Другие случаи разобраны в статье вычитание рациональных чисел.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Для начала приведем пример, который позволит нам выяснить, как проводится вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Пусть на тарелке находилось пять восьмых долей яблока, то есть, 5/8 яблока, после чего две восьмых доли забрали. По смыслу вычитания (смотрите общее представление о вычитании), указанное действие описывается так: . Понятно, что при этом на тарелке остается 5−2=3 восьмых доли яблока. То есть, .

Рассмотренный пример иллюстрирует правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитается числитель вычитаемого, а знаменатель остается прежним.

Озвученное правило с помощью букв записывается так: . Эту формулу и будем использовать при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим примеры вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Выполните вычитание обыкновенной дроби 17/15 из обыкновенной дроби 24/15 .

Знаменатели вычитаемых дробей равны. Числитель уменьшаемого равен 24 , а числитель вычитаемого равен 17 , их разность равна 7 ( 24−17=7 при необходимости смотрите вычитание натуральных чисел). Поэтому вычитание дробей с одинаковыми знаменателями 24/15 и 17/15 дает дробь 7/15 .

Краткий вариант решения выглядит так: .

.

При возможности нужно проводить сокращение дроби и (или) выделение целой части из неправильной дроби, которая получается при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями.

Вычислите разность .

Воспользуемся формулой вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: .

Очевидно, числитель и знаменатель полученной дроби делятся на 2 (смотрите признак делимости на 2), то есть, 22/12 – сократимая дробь. Выполнив сокращение этой дроби на 2 , приходим к дроби 11/6 .

Дробь 11/6 – неправильная (смотрите правильные и неправильные дроби). Поэтому из нее нужно выделить целую часть: .

Итак, вычисляемая разность дробей с одинаковыми знаменателями равна .

Вот все решение: .

.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Вычитание дробей с разными знаменателями сводится к вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого дроби с разными знаменателями достаточно привести к общему знаменателю.

Итак, чтобы провести вычитание дробей с разными знаменателями, надо:

  • привести дроби к общему знаменателю (обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю);
  • вычесть полученные дроби с одинаковыми знаменателями.
  • Рассмотрим примеры вычитания дробей с разными знаменателями.

    Отнимите от обыкновенной дроби 2/9 обыкновенную дробь 1/15 .

    Так как знаменатели вычитаемых дробей разные, то сначала выполним приведение дробей к наименьшему общему знаменателю: так как НОК(9, 15)=45 , то дополнительным множителем дроби 2/9 является число 45:9=5 , а дополнительным множителем дроби 1/15 является число 45:15=3 , тогда и .

    Осталось вычесть из дроби 10/45 дробь 3/45 , получаем , что и дает нам искомую разность дробей с разными знаменателями.

    Кратко решение записывается так: .

    .

    Не следует забывать про сокращение полученной после вычитания дроби, а также про выделение целой части.

    Вычтите из дроби 19/9 дробь 7/36 .

    После приведения дробей с разными знаменателями к наименьшему общему знаменателю 36 , имеем дроби 76/9 и 7/36 . Вычисляем их разность: .

    Полученная дробь сократима, после ее сокращения на 3 , получаем 23/12 . А эта дробь неправильная, выделив из нее целую часть, имеем .

    Соберем воедино все выполненные действия при вычитании исходных дробей с разными знаменателями: .

    .

    Вычитание натурального числа из обыкновенной дроби

    Вычитание натурального числа из дроби можно свести к вычитанию обыкновенных дробей. Для этого достаточно представить натуральное число в виде дроби со знаменателем 1. Разберем решение примера.

    Выполните вычитание числа 3 из дроби 83/21 .

    Так как число 3 равно дроби 3/1 , то .

    .

    Однако вычитание натурального числа из неправильной дроби удобнее проводить, представив дробь в виде смешанного числа. Покажем решение предыдущего примера этим способом.

    Отнимите число 3 от дроби 83/21 .

    Сначала выделим целую часть из неправильной дроби 83/21 , имеем , тогда . Осталось провести вычитание натурального числа из смешанного числа: .

    .

    Вычитание обыкновенной дроби из натурального числа

    Вычитание обыкновенной дроби из натурального числа можно свести к вычитанию обыкновенных дробей, представив натуральное число как дробь. Разберем решение примера, иллюстрирующего такой подход.

    Отнимите обыкновенную дробь 5/3 от натурального числа 7 .

    Представим число 7 как дробь 7/1 , после чего выполним вычитание: .

    Выделив целую часть из полученной дроби, получаем окончательный ответ .

    .

    Однако существует более рациональный способ вычитания дроби из натурального числа. Его преимущества особенно заметны, когда уменьшаемое натуральное число и знаменатель вычитаемой дроби являются большими числами. Все это будет видно из примеров ниже.

    Если вычитаемая дробь правильная, то уменьшаемое натуральное число можно заменить суммой двух чисел, одно из которых равно единице, отнять правильную дробь от единицы, после чего завершить вычисления.

    Выполните вычитание обыкновенной дроби 13/62 из натурального числа 1 065 .

    Вычитаемая обыкновенная дробь – правильная. Заменим число 1 065 суммой 1 064+1 , при этом получим . Осталось вычислить значение полученного выражения (подробнее о вычислении таких выражений мы поговорим в следующем пункте).

    В силу свойств вычитания, полученное выражение можно переписать как . Вычислим значение разности в скобках, заменив единицу дробью 1/1 , имеем . Таким образом, . На этом вычитание дроби 13/62 из натурального числа 1 065 завершено.

    Вот все решение:

    А теперь для сравнения покажем, с какими числами нам бы пришлось работать, если бы мы решили свести вычитание исходных чисел к вычитанию дробей:

    .

    Если же вычитаемая дробь неправильная, то ее можно заменить смешанным числом, после чего провести вычитание смешанного числа из натурального числа.

    Отнимите от натурального числа 644 дробь 73/5 .

    Выделим целую часть из неправильной дроби: . Тогда .

    Осталось лишь выполнить вычитание правильной дроби из натурального числа, поступим также как в предыдущем примере: .

    .

    Использование свойств вычитания при вычитании дробей

    Для вычитания обыкновенных дробей справедливы все свойства вычитания натуральных чисел. Это следует из смысла, который мы придали обыкновенным дробям и операции вычитания дробей. Свойства вычитания позволяют вычислять значения выражений с дробями. Рассмотрим примеры.

    Вычислите значение выражения .

    Решения подобных примеров с натуральными числами разобраны в разделе вычитание суммы из числа. Здесь будем действовать аналогично.

    Сначала вычислим разность , после чего от нее отнимем дробь 5/6 . Итак, и . После выделения целой части из полученной неправильной дроби получаем .

    Так выглядит краткая запись решения: .

    .

    Когда выражение содержит и натуральные числа и дроби, то при вычислении удобно группировать числа с числами, а дроби с дробями.

    Выполните вычитание суммы натурального числа и обыкновенной дроби из суммы натурального числа и обыкновенной дроби .

    Нам нужно вычислить разность . Свойства сложения и вычитания позволяют нам провести следующую группировку , что упрощает вычисления. Осталось лишь закончить вычисления: .

    .

    Сложение обыкновенных дробей: правила, примеры, решения.

    Одним из действий с обыкновенными дробями является сложение. В этой статье мы разберемся, как осуществляется сложение обыкновенных дробей. Сначала рассмотрим сложение дробей с одинаковыми знаменателями, после этого изучим сложение дробей с разными знаменателями и подробно разберем решения примеров. Дальше остановимся на сложении обыкновенной дроби и натурального числа. Наконец, поговорим о сложении трех, четырех и большего количества обыкновенных дробей.

    Навигация по странице.

    Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

    Сначала разберем сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Получить правило сложения дробей нам поможет следующий пример.

    Пусть на тарелку положили три восьмых доли яблока и после этого еще две восьмых доли такого же яблока. Эти действия можно описать так: 3/8+2/8 . В результате на тарелке оказалось 3+2=5 восьмых долей яблока, то есть, 5/8 . Таким образом, сложение обыкновенных дробей 3/8 и 2/8 дает обыкновенную дробь 5/8 .

    Из рассмотренного примера можно сделать вывод, что сложение дробей с одинаковыми знаменателями дает дробь, числитель которой равен сумме числителей складываемых дробей, а знаменатель равен знаменателям исходных дробей.

    Итак, мы получили правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями: при сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складываются, а знаменатель остается прежним.

    Запишем это правило сложения дробей с помощью букв. Пусть нам нужно выполнить сложение обыкновенной дроби a/b и обыкновенной дроби c/b . Тогда, согласно правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями, справедливо равенство .

    Осталось рассмотреть примеры сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

    Сложите обыкновенные дроби 5/23 и 7/23 .

    Знаменатели складываемых дробей равны, поэтому в результате сложения будет дробь с таким же знаменателем 23 , а ее числитель будет равен сумме числителей складываемых дробей, то есть, 5+7=12 . Итак, сложение дробей 5/23 и 7/23 приводит нас к дроби 12/23 .

    Кратко решение записывается так: .

    .

    Если сложение дробей дает сократимую дробь (смотрите сократимые и несократимые дроби), то нужно провести сокращение дроби. Если при этом полученная дробь неправильная (смотрите правильные и неправильные дроби), то нужно выделить из нее целую часть.

    Вычислите сумму обыкновенных дробей 5/28 и 3/28 .

    Применив правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями, получаем .

    Очевидно, полученная дробь сократима, так как числитель и знаменатель делятся на 2 (при необходимости смотрите признак делимости на 2). Выполним сокращение дроби: .

    Таким образом, сложение дробей 5/28 и 3/28 дает 2/7 .

    Приведем краткую запись всего решения: .

    Выполните сложение обыкновенных дробей 15/62 и 140/62 .

    Проведем сложение дробей с одинаковыми знаменателями: .

    Проверим, можно ли сократить полученную дробь. Для этого вычислим наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя, удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида: 155=62·2+31 , 62=31·2 , следовательно, НОД(155, 62)=31 . Таким образом, дробь 144/62 можно сократить на 31 , имеем .

    Очевидно, дробь 5/2 неправильная. Выполнив выделение целой части из неправильной дроби 5/2 , получаем .

    Итак, весь процесс сложения дробей с одинаковыми знаменателями 15/62 и 140/62 можно кратко записать так: .

    .

    Сложение дробей с разными знаменателями

    Сложение дробей с разными знаменателями можно свести к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого достаточно складываемые дроби привести к общему знаменателю.

    Исходя из этих соображений, получаем правило сложения дробей с разными знаменателями, которое содержит два шага:

    • во-первых, складываемые дроби приводятся к общему знаменателю (обычно, к наименьшему общему знаменателю);
    • во-вторых, выполняется сложение полученных дробей с одинаковыми знаменателями.
    • Рассмотрим решения примеров, в которых выполняется сложение двух дробей с разными знаменателями.

      Сложите обыкновенные дроби 5/8 и 1/12 .

      Знаменатели складываемых дробей разные, поэтому, сначала нужно выполнить приведение дробей к наименьшему общему знаменателю. Для этого находим НОК(8, 12)=24 , находим соответствующие дополнительные множители 24:8=3 и 24:12=2 дробей 5/8 и 1/12 , в результате получаем и .

      Теперь складываем дроби 15/24 и 2/24 , имеем .

      Таким образом, сложение дробей с разными знаменателями 5/8 и 1/12 дает дробь 7/24 .

      Запишем все решение кратко: .

      .

      Заметим, если при сложении дробей получается сократимая дробь и (или) неправильная дробь, то нужно провести сокращение дроби и при возможности выделить целую часть.

      Выполните сложение дробей с разными знаменателями 12/5 и 2/3 .

      Для сложения дробей с разными знаменателями, сначала приведем их к наименьшему общему знаменателю: .

      Теперь сложим дроби 36/15 и 10/15 , получаем .

      Проверим, не является ли полученная дробь сократимой. Для этого вычислим наибольший общий делитель числителя и знаменателя, воспользовавшись алгоритмом Евклида: 46=15·3+1 , 15=1·15 , следовательно, НОД(46, 15)=1 . Таким образом, дробь 46/15 несократима.

      Но дробь 46/15 очевидно неправильная, поэтому из нее нужно выделить целую часть. Так как 46:15=3 (ост. 1) , то .

      На этом сложение дробей с разными знаменателями завершено. Вот краткое решение: .

      .

      Сложение обыкновенной дроби и натурального числа

      Сложение натурального числа с правильной обыкновенной дробью не представляет интереса, так как такая сумма по определению есть смешанное число. Например, .

      Сложение натурального числа с неправильной обыкновенной дробью можно проводить через сложение двух дробей, если натуральное число заменить дробью (смотрите натуральное число как дробь со знаменателем 1). К примеру, .

      Однако, сложение натурального числа и неправильной дроби целесообразнее проводить, выделив из дроби целую часть. В результате сложение натурального числа и дроби сводится к сложению натурального числа и смешанного числа. Для примера вычислим сумму из предыдущего примера таким способом: . Рассмотренный подход требует меньше вычислительной работы по сравнению с предыдущим способом, что особенно заметно, когда числа велики.

      Сложение трех и большего количества обыкновенных дробей

      Разберем, как сложить три, четыре и большее количество обыкновенных дробей.

      Сложение обыкновенных дробей обладает переместительным и сочетательным свойствами. Это следует из определения обыкновенных дробей, а также из того, как мы определили сложение обыкновенных дробей. Таким образом, сложение трех, четырех и т.д. дробей можно проводить аналогично сложению трех большего количества натуральных чисел.

      Нам нужно вычислить сумму . Последовательно заменяя две соседние дроби их суммой, получим . Осталось лишь сократить полученную дробь, после чего выделить целую часть: .

      .

      Аналогично проводится сложение нескольких натуральных чисел и нескольких обыкновенных дробей.

      Вычислите сумму .

      Свойства сложения позволяют провести следующую группировку слагаемых: . Сумма трех натуральных чисел в скобках равна 14 , а сумма равна дроби 11/12 . Таким образом, .

      .

      Стоит отметить, что и правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями, и правило сложения дробей с разными знаменателями остаются справедливыми для трех и большего количества складываемых дробей.

      Рассмотрим решение одного из предыдущих примеров в этом свете.

      Сложите четыре обыкновенные дроби 5/12 , 13/12 , 1/12 и 1/12 .

      Обратившись к правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями, получаем . Осталось лишь сократить полученную дробь, после чего выделить целую часть: .

      Сложите три дроби с разными знаменателями 1/2 , 3/8 и 7/12 .

      Сначала выполним приведение трех дробей к наименьшему общему знаменателю (смотрите приведение к общему знаменателю трех и большего количества дробей), получаем .

      Осталось лишь закончить сложение: .

      .

      www.cleverstudents.ru

      20. Правильные и неправильные дроби. Правила


      Мама испекла две пиццы. Каждую она разрезала на 8 равных частей.
      11 частей за день съели. Осталось 5 кусочков.

      Запишем количество съеденной пиццы в виде дроби —

      На рисунке хорошо видно,

      Дроби, у которых числитель больше либо равен знаменателю
      называются неправильные, а те у которых числитель меньше
      знаменателя правильными.

      — неправильные,
      они могут быть записаны другим способом:

      Сравним эти виды дробей с единицей.

      Обратите внимание, где расположены точки, отмеченные правильными
      и неправильными дробями на координатном луче.

      Задачи на тему «Правильные и неправильные дроби»

      Выберите из предложенных правильные дроби.

      Выберите из предложенных неправильные дроби.

      Выберите верные утверждения.

      1) Неправильная дробь всегда больше единицы.

      2) Правильная дробь всегда меньше единицы.

      3) Правильная дробь всегда больше единицы. Неверно. Неправильная дробь может равняться единице. Например:

      = 1 . 1) Правильной называют дробь, у которой числитель меньше либо равен знаменателю.

      2) Правильной называют дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

      3) Неправильной называют дробь, у которой числитель больше знаменателя. Неверно. Правильная дробь всегда меньше единицы. Например:

      = 1 . 1) Неправильной называют дробь, у которой числитель больше либо равен знаменателю.

      2) Неправильной называют дробь, у которой числитель больше знаменателя.

      3) Правильной называют дробь, у которой числитель меньше либо равен знаменателю. Неверно. Неправильной называют дробь, у которой числитель больше либо равен знаменателю. Например:

      . 1) Правильная дробь может быть равна единице.

      2) Неправильная дробь может быть меньше единицы.

      3) Неправильная дробь может быть равна единице. Неверно. Неправильной называют дробь, у которой числитель больше либо равен знаменателю. Например:

      > 1 . 1) Любая неправильная дробь больше, чем 1.

      2) Любая неправильная дробь меньше, чем 1.

      3) Любая правильная дробь меньше, чем 1. Неверно. Любая неправильная дробь больше либо равна 1. Например:

      > 1 . 1) Любая правильная дробь больше либо равна 1.

      2) Правильная дробь может равняться 1.

      3) Любая неправильная дробь больше либо равна 1. Неверно. Любая правильная дробь меньше 1. Например:

      скорости грузовика.
      Чему равна скорость легковушки, если скорость грузовика равна 60км/ч ?

      О т в е т: скорость легкового автомобиля равна

      Скорость грузовика составляет

      скорости легковушки.
      Чему равна скорость грузовика, если скорость легкового автомобиля равна 100км/ч ?

      school-assistant.ru

      Действия с дробями

      Дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой. В принципе всё, что можно делать с обычными числами, можно делать и с дробями.

      Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

      Сложение дробей бывает двух видов:

    • Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
    • Сложение дробей с разными знаменателями
    • Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

      Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

      Пример 2. Сложить дроби и .

      В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:

      Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

      Пример 3. Сложить дроби и .

      Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

      Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

      Пример 4. Найти значение выражения

      Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

      Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

      Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

    • Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним;
    • Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.
    • Сложение дробей с разными знаменателями

      Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

      Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

      А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

      Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

      Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

      Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

      Пример 1. Сложим дроби и

      В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

      НОК (2 и 3) = 6

      Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

      Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

      Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

      Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

      Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

      Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

      Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

      Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

      Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

      Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

      Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

      Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

      Поэтому на первых этапах советуем записывать каждую мелочь. Хвастаться можно лишь в будущем, когда будут усвоены азы.

      Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

    • Найти НОК знаменателей дробей;
    • Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
    • Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
    • Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели;
    • Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;
    • Пример 2. Найти значение выражения .

      Воспользуемся схемой, которую мы привели выше.

      Шаг 1. Найти НОК для знаменателей дробей

      Находим НОК для знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4. Нужно найти НОК для этих чисел:

      Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

      Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

      Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

      Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

      Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

      Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

      Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

      Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

      Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

      Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть

      У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

      Получили ответ

      Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

      Вычитание дробей бывает двух видов:

    • Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
    • Вычитание дробей с разными знаменателями
    • Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

      Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним. Так и сделаем:

      Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

      Пример 2. Найти значение выражения .

      Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем прежним:

      Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

      Пример 3. Найти значение выражения

      Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

      В ответе получилась неправильная дробь. Если пример завершен, то от неправильной дроби принято избавляться. Давайте и мы избавимся от неправильной дроби в ответе. Для этого выделим ее целую часть:

      Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

      1. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним;
      2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить её целую часть.
      3. Вычитание дробей с разными знаменателями

        Теперь научимся вычитать дроби у которых разные знаменатели. Когда вычитают дроби их знаменатели должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

        Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

        Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

        Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

        Пример 1. Найти значение выражения:

        У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

        Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

        НОК (3 и 4) = 12

        Теперь возвращаемся к дробям и

        Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

        Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

        Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

        Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

        Получили ответ

        Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

        Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

        Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

        Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

        Пример 2. Найти значение выражения

        У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

        Найдём НОК знаменателей этих дробей.

        Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

        НОК (10, 3, 5) = 30

        Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

        Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

        Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

        Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

        Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

        Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

        Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

        В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще и эстетичнее. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь. Напомним, что сокращением дроби называется деление числителя и знаменателя на наибольший общий делитель числителя и знаменателя.

        Чтобы грамотно сократить дробь нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

        Нельзя путать НОД с НОК. Самая распространённая ошибка многих новичков. НОД — это наибольший общий делитель. Его мы находим для сокращения дроби.

        А НОК — это наименьшее общее кратное. Его мы находим для того, чтобы привести дроби к одинаковому (общему) знаменателю.

        Сейчас мы будем находить наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

        Итак, находим НОД для чисел 20 и 30:

        НОД (20 и 30) = 10

        Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на 10:

        Получили красивый ответ

        Умножение дроби на число

        Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

        Пример 1. Умножить дробь на число 1 .

        Умножим числитель дроби на число 1

        Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

        Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

        Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

        Пример 2. Найти значение выражения

        Умножим числитель дроби на 4

        В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

        Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

        А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

        Умножение дробей

        Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

        Пример 1. Найти значение выражения .

        Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

        Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим у нас есть половина пиццы:

        Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

        И взять от этих трех кусочков два:

        У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

        Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

        Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

        Пример 2. Найти значение выражения

        Пример 3. Найти значение выражения

        Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

        В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, её нужно разделить на НОД числителя и знаменателя. Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

        НОД для (105 и 150) равен 15

        Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД:

        Представление целого числа в виде дроби

        Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

        Обратные числа

        Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

        Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

        Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

        Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

        Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

        Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменять местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножить дробь на саму себя, только перевёрнутую:

        Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

        Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

        Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

      4. обратным числа 2 является дробь
      5. обратным числа 3 является дробь
    • обратным числа 4 является дробь
    • Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

      • для дроби обратной дробью является дробь
      • для для дроби обратной дробью является дробь
      • для дроби обратной дробью является дробь
      • Деление дроби на число

        Допустим, у нас имеется половина пиццы:

        Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?

        Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.

        Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.

        Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.

        Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.

        Итак, требуется разделить дробь на число 2 . Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.

        Чтобы разделить дробь на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить на

        Получили ответ . Значит при делении половины на две части получается четверть.

        Попробуем понять сам механизм деления дробей. Для этого рассмотрим следующий простейший пример. Пусть у нас имеется одна целая пицца:

        Умножим её на 2. То есть, повторим её два раза (или возьмём два раза). В результате будем иметь две пиццы:

        Теперь угостим этими пиццами двоих друзей. То есть, разделим 2 пиццы на 2. Тогда каждому достанется по одной пицце:

        Разделить две пиццы на 2 это всё равно, что взять половину от этих пицц, то есть умножить число 2 на дробь

        В обоих случаях получился один и тот же результат.

        Тоже самое происходило, когда мы делили половину пиццы на две части. Чтобы разделить на 2, мы умножили эту дробь на число, обратное делителю 2. А обратное делителю 2 это дробь

        Пример 2. Найти значение выражения

        Умножим первую дробь на число, обратное делителю:

        Допустим, у нас имеется четверть пиццы и нужно разделить её на двоих:

        Если разделить эту четверть на две части, то каждая получившаяся часть будет одной восьмой частью целой пиццы:

        Заменять деление умножением можно не только при работе с дробями, но и с обычными числами. Например, все мы знаем, что 10 разделить на 2 будет 5

        Заменим в этом примере деление умножением. Чтобы разделить число 10 на число 2, можно умножить число 10 на число, обратное числу 2. А обратное числу 2 это дробь

        Как видно результат не изменился. Мы снова получили ответ 5.

        Можно сделать вывод, что деление можно заменять умножением при условии, что вместо делителя будет подставлено обратное ему число.

        Пример 3. Найти значение выражения

        Умножим первую дробь на число, обратное делителю. Обратное делителю число это дробь

        Допустим у нас имелось пиццы:

        Как разделить такую пиццу на шестерых? Если каждый из трех кусков разделить пополам, то можно получить 6 равных кусков

        Эти шесть кусков являются шестью кусками из двенадцати. А один из этих кусков составляет . Поэтому при делении на 6 получается

        Деление числа на дробь

        Правило деления числа на дробь такое же, как и правило деления дроби на число.

        Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю.

        Например, разделим число 1 на .

        Чтобы разделить число 1 на , нужно это число 1 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дроби это дробь

        Выражение можно понимать, как определение количества половин в одной целой пицце. Допустим у нас имеется одна целая пицца:

        Если зададим вопрос сколько раз половина содержится в этой пицце, то ответом будет 2. Действительно, если мы разделим её пополам, то увидим, что половина содержится в ней два раза

        Пример 2. Найти значение выражение

        Умножим число 2 на дробь, обратную делителю. А обратная делителю дробь это дробь

        Допустим, у нас имеется две целые пиццы:

        Если зададим вопрос сколько раз половина содержится в этих пиццах, то ответом будет 4. Действительно, если мы разделим эти пиццы пополам, то увидим, что половина содержится в них четыре раза:

        Деление дробей

        Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

        Например, разделим на

        Чтобы разделить на , нужно умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дроби это дробь

        Допустим у нас имеется половина пиццы:

        Если зададим вопрос сколько раз четверть пиццы содержится в этой половине, то ответом будет 2. Действительно, если мы разделим её на две части, то увидим, что четверть содержится в ней два раза:

        Пример 1. Найти значение выражения

        Умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Грубо говоря, умножаем первую дробь на перевёрнутую вторую:

        Пример 2. Найти значение выражения

        Умножаем первую дробь на дробь обратную второй:

        Здесь советуем остановиться и потренироваться. Решите несколько примеров, приведенных ниже. Можете использовать материалы сайта, как справочник. Это позволит вам научиться работать с литературой.

        Каждая следующая тема будет более сложной, поэтому желательно тренироваться.

        spacemath.xyz

    Смотрите так же:

    • До поступления трудового стажа не имел Заполнение трудовой книжки при отсутствии трудового стажа Добрый день! Нет, такая запись действующими нормативными документами не предусмотрена. Самая первая запись, которую надо сделать: Наименование организации.Если на работу […]
    • Как обновить спор Патч Spore v 1.05.1(включает все прошлые обновления) Патч v 1.05.1: * Положение объектов возле воды или лавы могло быть некорректным во время игры или теста Adventure. * Исправляет вылет в Building Creator при зажатии Ctrl или Shift и […]
    • Правила землепользования и застройки тула Правила землепользования и застройки муниципального образования город Тула Решение Тульской городской Думы от 25.03.2009 N 65/1406 Рассмотрев представленный главой администрации города Тулы проект решения Тульской городской Думы "О […]
    • Налог на зарубежные инвестиции Налогообложение иностранных инвестиций Договор об избежании двойного налогообложения (Double Tax Treaty) — это соглашение, подписанное между двумя странами, направленное на освобождения лиц, являющихся плательщиками налога в этих странах, […]
    • Возврат товаров поставщику при усн проводки Возврат товара поставщику: проводки Актуально на: 27 января 2017 г. Причины возврата товара поставщику могут быть самые разные: от брака, обнаруженного при приемке, до возврата нереализованных остатков. Как возврат товара отражается в […]
    • Кто выплачивает пособия по уходу за ребенком до 3 лет в 2014 году Пособие по уходу за ребенком до 3 лет Молодые матери должны знать, что им полагается пособие по уходу за ребенком до 3 лет. Эти выплаты осуществляются или из бюджета города, или из денег предприятия, или из государственных средств. […]