Натяжение по закону гука

Примеры решения задач по теме «Силы упругости. Закон Гука»

«Физика — 10 класс»

При решении задач по этой теме надо иметь в виду, что закон Гука справедлив только при упругих деформациях тел. Сила упругости не зависит от того, какая происходит деформация: сжатия или растяжения, она одинакова при одинаковых Δl. Кроме этого, считается, что сила упругости вдоль всей пружины одинакова, так как масса пружины обычно не учитывается.

При помощи пружинного динамометра поднимают с ускорением а = 2,5 м/с 2 , направленным вверх, груз массой m = 2 кг. Определите модуль удлинения пружины динамометра, если её жёсткость k = 1000 Н/м.

Согласно закону Гука, выражающему связь между модулем внешней силы , вызывающей растяжение пружины, и её удлинением, имеем F = kΔl. Отсюда

Для нахождения силы воспользуемся вторым законом Ньютона. На груз, кроме силы тяжести m, действует сила упругости пружины, равная по модулю F и направленная вертикально вверх. Согласно второму закону Ньютона m = F + m.

Направим ось OY вертикально вверх так, чтобы пружина была расположена вдоль этой оси (рис. 3.16). В проекции на ось OY второй закон Ньютона можно записать в виде mау = Fy + mgy

Так как ау = a, gy = -g и Fy = F, то F = mа + mg = m(а + g).

Определите, как изменяется сила натяжения пружины, прикреплённой к бруску массой m = 5 кг, находящемуся неподвижно на наклонной поверхности, при изменении угла наклона от 30° до 60°. Трение не учитывайте.

На брусок действуют сила тяжести, сила натяжения пружины и сила реакции опоры (рис. 3.17).

Условие равновесия бруска: m + + yпp = 0.

Запишем это условие в проекциях на оси ОХ и OY:

Из первого уравнения системы получим Fyпp = mg sinα.

При изменении угла наклона изменение силы упругости найдём из выражения ΔFyпp = mg(sinα2 — sinα1) = 5 • 10 • (0,866 — 0,5) (Н) = 18,3 Н.

К потолку подвешены последовательно две невесомые пружины жёсткостями 60 Н/м и 40 Н/м. К нижнему концу второй пружины прикреплён груз массой 0,1 кг. Определите жёсткость воображаемой пружины, удлинение которой было бы таким же, как и двух пружин при подвешивании к ней такого же груза (эффективную жёсткость).

Так как весом пружин можно пренебречь, то очевидно, что силы натяжения пружин равны (рис. 3.18). Тогда согласно закону Гука

На подвешенный груз действуют две силы — сила тяжести и сила натяжения второй пружины.

Условие равновесия груза запишем в виде mg = k2х2.

Из этого уравнения найдём удлинение

Подставив выражение для х2 в уравнение (1), получим для удлинения

Определим теперь эффективную жёсткость. Запишем закон Гука для воображаемой пружины:

Подставив в формулу (2) выражения для удлинений x1 и х2 пружин, получим

Для эффективной жёсткости получим выражение

Через блок, закреплённый у края стола, перекинута нерастяжимая нить, к концам которой привязаны брусок массой m1 = 1 кг, находящийся на горизонтальной поверхности стола, и пружина жёсткостью k = 50 Н/м, расположенная вертикально. Ко второму концу пружины привязана гиря массой m2 = 200 г (рис. 3.19). Определите удлинение пружины при движении тел. Силу трения, массы пружины, блока и нити не учитывайте.

На брусок действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила натяжения нити.

На гирю действуют сила тяжести и сила натяжения пружины.

Согласно второму закону Ньютона для бруска и гири запишем:

m11 = m1 + + ;
m22 = m + упр.

В проекциях на выбранные оси координат запишем: на ось ОХ: m1а1 = Т;

Так как нить нерастяжима, то модули ускорений равны: а1 = а2 = а.

В силу условия малых масс пружины, нити и блока можно записать: T2 = Fупр и Т1 = Т2 = Т.

Учтя последние равенства, систему уравнений (1) запишем в виде

Выразив ускорение из первого уравнения системы и подставив его во второе, получим

Из этого уравнения найдём силу натяжения нити:

Так как согласно закону Гука Fупр = kx, то

Тогда удлинение пружины

Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Динамика — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика

Устали? — Отдыхаем!

  • Парадоксы
  • Это интересно
  • История техники
  • Физика детям
  • Библиотека
  • Знаете ли вы
  • История физики
  • Любознательным
  • Мысли вслух
  • Выпускникам
    Как сдавать экзамены?
    Тактика тестирования
    Знаешь ли ты себя?
    На урок
  • Поделиться

  • class-fizika.ru

    закон Гука

    Министерство образования АР Крым

    Таврический Национальный Университет им. Вернадского

    Исследование физического закона

    Выполнил: студент 1 курса

    физического факультета гр. Ф-111

    Связь между какими явлениями или величинами выражает закон.

    Математическое выражение закона.

    Каким образом был открыт закон: на основе опытных данных или теоретически.

    Опытные факты на основе которого был сформулирован закон.

    Опыты, подтверждающие справедливость закона, сформулированного на основе теории.

    Примеры использования закона и учета действия закона на практике.

    Связь между какими явлениями или величинами выражает закон:

    Закон Гука связывает такие явления, как напряжение и деформацию твердого тела, модуль силы упругости и удлинение. Модуль силы упругости, возникающей при деформации тела, пропорционален его удлинению. Удлинением называется характеристика деформативности материала, оцениваемая по увеличению длины образца из этого материала при растяжении. Си́ла упру́гости — сила, возникающая при деформации тела и противодействующая этой деформации. Напряжение — это мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешних воздействий. Деформа́ция — изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением друг относительно друга. Эти понятия связаны так называемым коэффициентом жесткости. Он зависит от упругих свойств материала и размеров тела.

    Зако́н Гу́ка — уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды.

    Формулировка закона — сила упругости прямо пропорциональна деформации.

    Математическое выражение закона:

    Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

    Здесь F сила натяжения стержня, Δl — его удлинение(сжатие), а k называется коэффициентом упругости (или жёсткостью). Минус в уравнении указывает на то, что сила натяжения всегда направлена в сторону, противоположную деформации.

    Если ввести относительное удлинение

    инормальное напряжение в поперечном сечении

    то закон Гука запишется так

    В такой форме он справедлив для любых малых объёмов вещества.

    В общем случае напряжения и деформации являются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга Cijkl и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора Cijkl, а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

    где σij — тензор напряжений, —тензор деформаций. Для изотропного материала тензор Cijkl содержит только два независимых коэффициента.

    Каким образом был открыт закон: на основе опытных данных или теоретически:

    Закон был открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком (Хуком) на основе наблюдений и экспериментов. Открытие, как утверждал Гук в своём сочинении «De potentia restitutiva», опубликованном в 1678, сделано им за 18 лет до этого времени, а в 1676 было помещено в другой его книге под видом анаграммы «ceiiinosssttuv», означающей «Ut tensio sic vis». По объяснению автора, вышесказанный закон пропорциональности применяется не только к металлам, но и к дереву, камням, рогу, костям, стеклу, шёлку, волосу и проч.

    Опытные факты на основе которых был сформулирован закон:

    История об этом умалчивает..

    Опыты, подтверждающие справедливость закона, сформулированного на основе теории:

    Закон сформулирован на основе опытных данных. Действительно, при растягивании тела (проволоки) с определенным коэффициентом жесткости k на расстояние Δl, то их произведение будет равно по модулю силе, растягивающей тело (проволоку). Такое соотношение будет выполняться, однако, не для всех деформаций, а для небольших. При больших деформациях закон Гука перестает действовать, тело разрушается.

    Примеры использования закона и учета действия закона на практике:

    Как следует из закона Гука, по удлинению пружины можно судить о силе, действующей на нее. Этот факт используется для измерения сил с помощью динамометра – пружины с линейной шкалой, проградуированной на разные значения сил.

    1. Интернет-ресурсы: — сайт Википедия (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83%D0%BA%D0%B0).

    2. учебник по физике Перышкин А.В. 9 класс

    3. учебник по физике В.А. Касьянов 10 класс

    studfiles.net

    Закон Гука

    Содержание

    1. Определение и формула закона Гука
    2. Сила упругости
    3. Особенности сил упругости
    4. Применение закона на практике
    5. Что мы узнали?
    • Тест по теме
    • Определение и формула закона Гука

      Формулировка этого закона выглядит следующим образом: сила упругости, которая появляется в момент деформации тела, пропорциональна удлинению тела и направлена противоположно движению частиц этого тела относительно других частиц при деформации.

      Математическая запись закона выглядит так:

      Рис. 1. Формула закона Гука

      где Fупр – соответственно сила упругости, x – удлинение тела (расстояние, на которое изменяется исходная длина тела), а k – коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью тела. Сила измеряется в Ньютонах, а удлинение тела – в метрах.

      Для раскрытия физического смысла жесткости, нужно в формулу для закона Гука подставить единицу, в которой измеряется удлинение – 1 м, заранее получив выражение для k.

      Рис. 2. Формула жесткости тела

      Эта формула показывает, что жесткость тела численно равна силе упругости, которая возникает в теле (пружине), когда оно деформируется на 1 м. Известно, что жесткость пружины зависит от ее формы, размера и материала, из которого произведено данное тело.

      Сила упругости

      Теперь, когда известно, какая формула выражает закон Гука, необходимо разобраться в его основной величине. Основной величиной является сила упругости. Она появляется в определенный момент, когда тело начинает деформироваться, например, когда пружина сжимается или растягивается. Она направлена в обратную сторону от силы тяжести. Когда сила упругости и сила тяжести, действующие на тело, становятся равными, опора и тело останавливаются.

      Деформация – это необратимые изменения, происходящие с размерами тела и его формой. Они связанны с перемещением частиц относительно друг друга. Если человек сядет в мягкое кресло, то с креслом произойдет деформация, то есть изменятся его характеристики. Она бывает разных типов: изгиб, растяжение, сжатие, сдвиг, кручение.

      Так как сила упругости относится по своему происхождению к электромагнитным силам, следует знать, что возникает она из-за того, что молекулы и атомы – наименьшие частицы, из которых состоят все тела, притягиваются друг другу и отталкиваются друг от друга. Если расстояние между частицами очень мало, значит, на них влияет сила отталкивания. Если же это расстояние увеличить, то на них будет действовать сила притяжения. Таким образом, разность сил притяжения и сил отталкивания проявляется в силах упругости.

      Сила упругости включает в себя силу реакции опоры и вес тела. Сила реакции представляет особый интерес. Это такая сила, которая действует на тело, когда его кладут на какую-либо поверхность. Если же тело подвешено, то силу, действующую на него, называют, силой натяжения нити.

      Особенности сил упругости

      Как мы уже выяснили, сила упругости возникает при деформации, и направлена она на восстановление первоначальных форм и размеров строго перпендикулярно к деформируемой поверхности. У сил упругости также есть ряд особенностей.

    • они возникают во время деформации;
    • они появляются у двух деформируемых тел одновременно;
    • они находятся перпендикулярно поверхности, по отношению к которой тело деформируется.
    • они противоположны по направлению смещению частиц тела.

    Применение закона на практике

    Закон Гука применяется как в технических и высокотехнологичных устройствах, так и в самой природе. Например, силы упругости встречаются в часовых механизмах, в амортизаторах на транспорте, в канатах, резинках и даже в человеческих костях. Принцип закона Гука лежит в основе динамометра – прибора, с помощью которого измеряют силу.

    Рис. 3. Динамометр

    Что мы узнали?

    Статья подробно знакомит учащихся с материалом о том, как формулируется обобщенный закон Гука, который изучают в 7 классе, и его основной величине – силе упругости.

    obrazovaka.ru

    Представьте, что вы взялись за один конец упругой пружины, другой конец которой закреплен неподвижно, и принялись ее растягивать или сжимать. Чем больше вы сдавливаете пружину или растягиваете ее, тем сильнее она этому сопротивляется. Именно по такому принципу устроены любые пружинные весы — будь то безмен (в нем пружина растягивается) или платформенные пружинные весы (пружина сжимается). В любом случае пружина противодействует деформации под воздействием веса груза, и сила гравитационного притяжения взвешиваемой массы к Земле уравновешивается силой упругости пружины. Благодаря этому мы можем измерять массу взвешиваемого объекта по отклонению конца пружины от ее нормального положения.

    Первое по-настоящему научное исследование процесса упругого растяжения и сжатия вещества предпринял Роберт Гук. Первоначально в своем опыте он использовал даже не пружину, а струну, измеряя, насколько она удлиняется под воздействием различных сил, приложенных к одному ее концу, в то время как другой конец жестко закреплен. Ему удалось выяснить, что до определенного предела струна растягивается строго пропорционально величине приложенной силы, пока не достигает предела упругого растяжения (эластичности) и не начинает подвергаться необратимой нелинейной деформации (см. ниже). В виде уравнения закон Гука записывается в следующей форме:

    где F — сила упругого сопротивления струны, x — линейное растяжение или сжатие, а k — так называемый коэффициент упругости. Чем выше k, тем жестче струна и тем тяжелее она поддается растяжению или сжатию. Знак минус в формуле указывает на то, что струна противодействует деформации: при растяжении стремится укоротиться, а при сжатии — распрямиться.

    Закон Гука лег в основу раздела механики, который называется теорией упругости. Выяснилось, что он имеет гораздо более широкие применения, поскольку атомы в твердом теле ведут себя так, будто соединены между собой струнами, то есть упруго закреплены в объемной кристаллической решетке. Таким образом, при незначительной упругой деформации эластичного материала действующие силы также описываются законом Гука, но в несколько более сложной форме. В теории упругости закон Гука принимает следующий вид:

    где σмеханическое напряжение (удельная сила, приложенная к поперечной площади сечения тела), η — относительное удлинение или сжатие струны, а Е — так называемый модуль Юнга, или модуль упругости, играющий ту же роль, что коэффициент упругости k. Он зависит от свойств материала и определяет, насколько растянется или сожмется тело при упругой деформации под воздействием единичного механического напряжения.

    Вообще-то, Томас Юнг гораздо более известен в науке как один из сторонников теории волновой природы света, разработавший убедительный опыт с расщеплением светового луча на два пучка для ее подтверждения (см. Принцип дополнительности и Интерференция), после чего сомнений в верности волновой теории света ни у кого не осталось (хотя до конца облечь свои идеи в строгую математическую форму Юнг так и не сумел). Вообще говоря, модуль Юнга представляет собой одну из трех величин, позволяющих описать реакцию твердого материала на приложенную к нему внешнюю силу. Вторая — это модуль смещения (описывает, насколько вещество смещается под воздействием силы, приложенной по касательной к поверхности), а третья — соотношение Пуассона (описывает, насколько твердое тело истончается при растяжении). Последнее названо в честь французского математика Симеона Дени Пуассона (Siméon-Denis Poisson, 1781–1840) .

    Конечно, закон Гука даже в усовершенствованной Юнгом форме не описывает всего, что происходит с твердым веществом под воздействием внешних сил. Представьте себе резиновую ленту. Если растянуть ее не слишком сильно, со стороны резиновой ленты возникнет возвратная сила упругого натяжения, и как только вы ее отпустите, она тут же соберется и примет прежнюю форму. Если растягивать резиновую ленту и дальше, то рано или поздно она утратит свою эластичность, и вы почувствуете, что сила сопротивления растяжению ослабла. Значит, вы перешли так называемый предел эластичности материала. Если тянуть резину и дальше, через какое-то время она вообще порвется, и сопротивление исчезнет полностью — это вы перешли через так называемую точку разрыва.

    Иными словами, закон Гука действует только при относительно небольших сжатиях или растяжениях. Пока вещество сохраняет свои упругие свойства, силы деформации прямо пропорциональны ее величине, и вы имеете дело с линейной системой — каждому равному приращению приложенной силы соответствует равное приращение деформации. Стоит перетянуть резину за предел эластичности, и межатомные связи-пружины внутри вещества сначала ослабевают, а затем рвутся — и простое линейное уравнение Гука перестает описывать происходящее. В таком случае принято говорить, что система стала нелинейной. Сегодня исследование нелинейных систем и процессов является одним из основных направлений развития физики.

    Английский физик. Родился во Фрешуотере (Freshwater) на острове Уайт в семье священника, окончил Оксфордский университет. Еще учась в университете, работал ассистентом в лаборатории Роберта Бойля, помогая последнему строить вакуумный насос для установки, на которой был открыт закон Бойля—Мариотта. Будучи современником Исаака Ньютона, вместе с ним активно участвовал в работе Королевского общества, а в 1677 году занял там пост ученого секретаря. Как и многие другие ученые того времени, Роберт Гук интересовался самыми разными областями естественных наук и внес вклад в развитие многих из них. В своей монографии «Микрография» (Micrographia) он опубликовал множество зарисовок микроскопического строения живых тканей и других биологических образцов и впервые ввел современное понятие «живая клетка». В геологии он первым осознал важность геологических пластов и первым в истории занялся научным изучением природных катаклизмов (см. Униформизм). Он же одним из первых высказал гипотезу, что сила гравитационного притяжения между телами убывает пропорционально квадрату расстояния между ними, а это ключевой компонент Закона всемирного тяготения Ньютона, и двое соотечественников и современников так до конца жизни и оспаривали друг у друга право называться его первооткрывателем. Наконец, Гук разработал и собственноручно построил целый ряд важных научно-измерительных приборов — и многие склонны видеть в этом его главный вклад в развитие науки. Он, в частности, первым додумался помещать перекрестье из двух тонких нитей в окуляр микроскопа, первым предложил принять температуру замерзания воды за ноль температурной шкалы, а также изобрел универсальный шарнир (карданное сочленение).

    elementy.ru

    Если на тело воздействовать некоторой силой, то его размер и (или) форма изменяются. Это процесс называют деформацией тела. В телах, подвергающихся деформациям, возникают силы упругости, уравновешивающие внешние силы.

    Виды деформации

    Все деформации можно разделить на два вида: упругие деформации и пластические.

    Упругой называют деформацию, если после снятия нагрузки прежние размеры тела и его форма полностью восстанавливаются.

    Пластической считают деформацию, при которой появившиеся, вследствие деформации, изменения размера и формы тела, после снятия нагрузки восстанавливаются частично.

    Характер деформации зависит от

    • величины и времени воздействия внешней нагрузки;
    • материала тела;
    • состояния тела (температуры, способов обработки и т.д).
    • Резкой границы между упругой и пластической деформациями не существует. В большом числе случаев малые и кратковременные деформации можно считать упругими.

      Формулировки закона Гука

      Эмпирически получено, что чем большую деформацию необходимо получить, тем большую деформирующую силу следует приложить к телу. По величине деформации ($\Delta l$) можно судить о величине силы:

      выражение (1) означает, что абсолютная величина упругой деформации прямо пропорциональная приложенной силе. Данное утверждение является содержанием закона Гука.

      При деформации удлинения (сжатия) тела выполняется равенство:

      \[F=k\left(l-l_0\right)=k\Delta l\ \left(2\right),\]

      где $F$ — деформирующая сила; $l_0$ — начальная длина тела; $l$ — длина тела после деформации; $k$ — коэффициент упругости (коэффициент жесткости, жесткость), $ \left[k\right]=\frac<Н><м>$. Коэффициент упругости зависит от материала тела, его размеров и формы.

      Так как в деформированном теле возникают силы упругости ($F_u$), которые стремятся восстановить прежние размеры и форму телу, то часто закон Гука формулируют относительно сил упругости:

      \[F_u=k\left|\Delta l\right|\ \left(3\right).\]

      Закон Гука хорошо работает для деформаций, которые возникают в стержнях из стали, чугуна, и других твердых веществ, в пружинах. Справедлив закон Гука для деформаций растяжения и сжатия.

      Закон Гука для малых деформаций

      Сила упругости зависит от изменения расстояния между частями одного и того же тела. Следует помнить, что закон Гука выполняется только для малых деформаций. При больших деформациях сила упругости не пропорциональна измерению длины, при дальнейшем увеличении деформирующего воздействия тело способно разрушаться.

      Если деформации тела малы, то силы упругости можно определять по ускорению, которое данные силы сообщают телам. Если тело неподвижно, то модуль силы упругости находят из равенства нулю векторной суммы сил, которые действуют на тело.

      Закон Гука можно записывать не только относительно сил, но часто его формулируют для такой величины как напряжение ($\sigma =\frac$ — сила, которая действует на единичную площадь поперечного сечения тела), тогда для малых деформаций:

      где $Е$ — модуль Юнга;$\ \frac<\Delta l>$ — относительное удлинение тела.

      Примеры задач с решением

      Задание. К стальному тросу длинной $l$, диаметром $d$ подвесили груз массой $m$. Каково напряжение в тросе ($\sigma $), а также абсолютное его удлинение ($\Delta l$)?

      Решение. Сделаем рисунок.

      Для того чтобы найти силу упругости, рассмотрим силы, которые действуют на тело, подвешенное к тросу, так как сила упругости будет равна по величине силе натяжения ($\overline$). По второму закону Ньютона имеем:

      В проекции на ось Y уравнения (1.1) получим:

      По третьему закону Ньютона тело, действует на трос с силой равной по величине силе $\overline$, трос, действует на тело с силой $\overline$, равной$\overline<\ N,>$ но противоположного направления, так деформирующая трос сила ($\overline$) равна:

      Под воздействием деформирующей силы в тросе возникает сила упругости, которая равна по величине:

      Напряжение в тросе ($\sigma $) найдем как:

      Площадь S — это площадь поперечного сечения троса:

      Задание. Какова абсолютная деформация первой пружины из двух последовательно соединенных пружин (рис.2), если коэффициенты жесткости пружин равны: $k_1\ и\ k_2$, а удлинение второй пружины составляет $\Delta x_2$?

      Решение. Если система из последовательно соединенных пружин находится в состоянии равновесия, то силы натяжения данных пружин одинаковы:

      \[F_1=k_1\Delta x_1;;\ F_2=k_2\Delta x_2\left(2.2\right).\]

      Согласно (2.1) и (2.2) имеем:

      \[k_1\Delta x_1=k_2\Delta x_2\ \left(2.3\right).\]

      Выразим из (2.3) удлинение первой пружины:

      Ответ. $\Delta x_1=\frac$.

      www.webmath.ru

Смотрите так же:

  • Дорожный рабочий пенсия Досрочная пенсия - КОНСУЛЬТАЦИИ ЮРИСТОВ В соответствии с положениями Закона «О трудовых пенсиях в Российской Федерации» право на пенсию получают лица, достигшие определенного возраста и имеющие в наличии минимальный страховой стаж (не […]
  • Иск пл Компания «ИСКО-Ч» продолжает акцию «Заведи свою квартиру», по условиям которой среди всех покупателей квартир в Новом городе разыгрывается автомобиль. В 2018 году в традиционные условия внесены изменения — по итогам акции будет […]
  • Транспортный налог башкирия льготы Транспортный налог башкирия льготы Транспортный налог - это региональный налог. Федеральным законом устанавливаются только базовые ставки. Местные власти могут увеличить базовые ставки в размере до 10 раз, вводить льготные категории или […]
  • Налог на посылки в италии В России — 1000 евро, в Германии — 22. Сравниваем лимиты на заграничный шопинг в разных странах Белорусы уже четвертый месяц закупают товары за границей по новым правилам. Из-за урезанных лимитов число международных посылок в июне […]
  • Правило дифференцирования таблица производных Правила дифференцирования. Производная произведения функций. Дифференцирование – определение производных и дифференциалов всех порядков от функции одной переменной и частных производных и дифференциалов, кроме того, полных дифференциалов […]
  • Получить справку о судимости в екатеринбурге Получение справки об отсутствии (наличии) судимости Заявление на предоставление государственной услуги по выдаче справок о наличии (отсутствии) судимости и (или) факта уголовного преследования либо о прекращении уголовного преследования […]