Переместительный и сочетательный закон умножения

Переместительный закон умножения

На данном уроке рассмотрена тема «Переместительный закон умножения». Мы узнаем о новом законе математики. В ходе решения этой задачи мы получим представление о переместительном законе умножения.

1. Решение задачи

Давайте прочитаем следующую задачу.

Стая уток отправилась на юг. Сначала утки летели 3 рядами по 4 птицы в каждом ряду. Но после остановки на отдых они полетели в 4 ряда по 3 утки в каждом ряду. Сколько всего птиц отправилось на юг?

Давайте сделаем краткую запись к этой задаче. Для наглядности представим каждую утку в виде круга. (Рис. 1)

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Мы помним, что до остановки на отдых утки летели 3 рядами по 4 птицы в каждом ряду. Давайте составим выражение, которое поможет нам узнать, сколько всего было уток. Мы видим, что число 4 повторяется 3 раза. (Рис. 1). Это значит, что мы можем воспользоваться умножением.

До остановки на отдых было 12 уток.

Утки отдохнули и полетели дальше на юг, но полетели они немного по-другому. Они полетели в 4 ряда, по 3 птицы в каждом ряду. Давайте это покажем. (Рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

С помощью какого выражения мы можем узнать, сколько уток полетело дальше. Мы видим, что число 3 повторяется 4 раза. (Рис. 2). Какое выражение нам поможет сосчитать количество уток?

После остановки на отдых на юг полетело 12 уток.

Ответ задачи: 12 уток.

Что вы заметили во время решения этой задачи?

Вы увидели, что числа мы не изменяли, а только меняли местами. Результат от этого не изменился. Это значит, что переместительный закон можно применить не только к сложению, но и к умножению. Называться он будет переместительным законом умножения. Давайте попробуем его сформулировать, но перед этим вспомним, как называются числа при умножении.

При умножении числа называются множитель и произведение. (Рис. 3).

Рис. 3. Названия чисел при умножении

2. Переместительный закон умножения

От перестановки множителей произведение не изменяется.

Давайте выполним задание, используя переместительный закон умножения. (Рис. 4).

Нам нужно вставить в равенства пропущенные числа.

Перед нами числовые равенства. В них стоит знак «=». Это значит, что значения левой и правой части одинаковы. Давайте вспомним переместительный закон умножения. Он говорит о том, что от перестановки множителей произведение не меняется. Значит, для того, чтобы значение левой части первого выражения было равно значению правой части, мы должны вставить в равенство число 4. (Рис. 5).

Рис. 5. Переместительный закон умножения

3. Задания на переместительный закон умножения

Теперь посмотрим на второе равенство. Какого числа не хватает в нем?

Для того чтобы значение левой части и правой части было одинаковым, мы должны в это равенство добавить число 2. (Рис. 6).

Рис. 6. Переместительный закон умножения

На основании переместительного закона умножения у нас получились истинные равенства.

4. Итоги урока

На этом уроке мы познакомились с переместительным законом умножения.

Список литературы

  1. Александрова Э.И. Математика. 2 класс. – М.: Дрофа, 2004.
  2. Башмаков М.И., Нефёдова М.Г. Математика. 2 класс. – М.: Астрель, 2006.
  3. Дорофеев Г.В., Миракова Т.И. Математика. 2 класс. – М.: Просвещение, 2012.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

а) 3 ∙ 9 б) 4 ∙ 4 в) 2 ∙ 5

а) 5 ∙ 4 б) 2 ∙ 8 в) 3 ∙ 7

Дополните равенства пропущенными цифрами:

а) 4 ∙ 6 = … ∙ 4 б) 3 ∙ 9 = 9 ∙ … в) 3 ∙ 6 = … ∙ 3

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

interneturok.ru

Законы умножения

Для рациональных чисел остаются справедливыми те же законы умножения, которые были приведены в § 5 для положительных чисел.

1. Переместительный закон.

Для любых рациональных чисел a и b справедливо равенство:

Это следует из определения умножения рациональных чисел. В самом деле, мы берем произведение абсолютных величин сомножителей, а оно не зависит от порядка, в котором берем эти абсолютные величины.

Знак произведения тоже определяем независимо от того, в каком порядке следовали сомножители. Мы смотрим только, одинаковые ли знаки у обоих сомножителей или различные.

Переместительный закон справедлив для произведения любого числа сомножителей. Так, например, перемножая числа –2, 3, 5 и –8 в любом порядке, мы получим одно и то же число 240. В самом деле, в каком бы порядке мы ни перемножали абсолютные величины сомножителей, получим одно и то же число 2 * 3 * 5 * 8 = 240. Знак произведения получим, подсчитав количество отрицательных сомножителей независимо от порядка, в каком они расположены. В нашем примере число 240 следует взять со знаком +, так как в произведении содержится два отрицательных сомножителя.

2. Сочетательный закон.

При умножении любых рациональных чисел остается в силе сочетательный закон умножения.

Для любых трех рациональных чисел a, b и с справедливо равенство:

В самом деле, в выражении a(bc) мы должны абсолютную величину a умножить на произведение абсолютных величин b и c , в выражении (ab)c мы должны произведение абсолютных величин a и b умножить на абсолютную величину c . Но абсолютные величины — это неотрицательные числа (то есть положительные или равные нулю), а для таких чисел сочетательный закон верен.

Значит, абсолютная величина обеих частей равенства одна и та же. Легко также убедиться, что и знак обоих произведений будет один и тот же, каковы бы ни были знаки чисел a, b и с (оба произведения положительны, если среди чисел a, b и с нет отрицательных или два из них отрицательны; оба произведения отрицательны, если одно из этих чисел или все три отрицательны; оба произведения равны нулю, если хотя бы одно из чисел a, b или c равно нулю).

Таким же образом можно убедиться в справедливости сочетательного закона для произведения любого числа сомножителей.

Пример . Это произведение нетрудно вычислить, перемножив сначала второй и третий сомножители: 3. Распределительный закон.

Для любых рациональных чисел a, b и с справедливо равенство:

Убедимся в этом на примерах.

1) [2 + (–3)] * 4 = 2 * 4 + (–3) * 4.

[2 + (–3)] * 4 = (–1) * 4 = –4;
2 * 4 + (–3) * 4 = 8 – 12 = –4.

2) [(–3) + 5] * (–6) = (–3) * (–6) + 5 * (–6).

[(–3) + 5] * (–6) = 2 * (–6) = –12;
(–3) * (–6) + 5 * (–6) = 18 – 30 = –12.

Распределительный закон имеет место при умножении на какой-либо множитель суммы любого числа слагаемых.

Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Пользуясь переместительным законом умножения, в последнем примере можно переставить сомножители, тогда получим следующее:

Чтобы умножить какое-либо число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Отметим следующие два свойства умножения:

1. Умножение произведения.
Чтобы умножить произведение нескольких чисел на число, можно умножить на это число один из сомножителей, оставив остальные без изменения.

[4 * (–3) * 5] * (–2) = (–60) * (–2) = 120
и
[4 * (–2)] * (–3) * 5 = (–8) * (–3) * 5 = 120.

2. Умножение на произведение.

Чтобы умножить число на произведение нескольких чисел, можно умножить это число на первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и так далее до конца.

4 * [5 * (–2) * 3] = 4 * (–30) = –120
и
(4 * 5) * (–2) * 3 = 20 * (–2) * 3 = (–40) * 3 = –120.

Эти последние свойства вытекают из законов умножения

mthm.ru

Умножение натуральных чисел: свойства, примеры

Для операции умножения натуральных чисел ℕ характерен ряд результатов, которые справедливы для любых умножаемых натуральных чисел. Эти результаты называются свойствами. В данной статье мы сформулируем свойства умножения натуральных чисел, приведем их буквенные определения и примеры.

Переместительное свойство умножения натуральных чисел

Переместительное свойство часто называют также переместительным законом умножения. По аналогии с переместительным свойством для сложения чисел, оно формулируется так:

Переместительный закон умножения

От перемены мест множителей произведение не меняется.

В буквенном виде переместительное свойство записывается так: a · b = b · a

a и b — любые натуральные числа.

Возьмем любые два натурльных числа и наглядно покажем, что данное свойство справедливо. Вычислим произведение 2 · 6 . По определению произведения, нужно число 2 повторить 6 раз. Получаем: 2 · 6 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 . Теперь поменяем множители местами. 6 · 2 = 6 + 6 = 12 . Очевидно, переместительный закон выполняется.

На рисунке ниже проиллюститруем переместительное свойство умножения натуральных чисел.

Сочетательное свойство умножения натуральных чисел

Второе название для сочетательного свойства умножения — ассоциативный закон, или ассоциативное свойство. Вот его формулировка.

Сочетательный закон умножения

Умножение числа a на произведение чисел b и c равносильно умножению произведения чисел a и b на число c .

Приведем формулировку в буквенном виде:

a · b · c = a · b · c

a , b , c — любые натуральные числа. Сочетательный закон работает для трех и более натуральных чисел.

Для наглядности приведем пример. Сначала вычислим значение 4 · 3 · 2 .

4 · 3 · 2 = 4 · 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24

Теперь переставим скобки и вычислим значение 4 · 3 · 2 .

4 · 3 · 2 = 12 · 2 = 12 + 12 = 24

4 · 3 · 2 = 4 · 3 · 2

Как видим, теория совпадает с практикой, и свойство справедливо.

Сочетательное свойство умножения также можно проиллюстрировать с помощью рисунка.

Распределительное свойство относительно умножения

Без распределительного свойста не обойтись, когда в математическом выражении одновременно присутствуют операции умножения и сложения. Это свойство определяет связь между умножением и сложением натуральных чисел.

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Умножения суммы чисел b и c на число a равносильно сумме произведений чисел a и b и a и c .

a · b + c = a · b + a · c

Теперь на наглядном примере покажем, как работает это свойство. Вычислим значение выражения 4 · 3 + 2 .

4 · 3 + 2 = 4 · 3 + 4 · 2 = 12 + 8 = 20

С другой стороны 4 · 3 + 2 = 4 · 5 = 20 . Справедливость распределительного свойства умножения относительно сложения показана наглядно.

Для лучшего понимания приведем рисунок, иллюстрирующий суть умножения числа на сумму чисел.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Распределительное свойство умножения относительно вычитания формулируется аналогично данному свойству относительно сложения, следует лишь учитывать знак операции.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Умножения разности чисел b и c на число a равносильно разности произведений чисел a и b и a и c .

Запишем в форме буквенного выражения:

a · b — c = a · b — a · c

a , b , c — любые натуральные числа.

В предыдущем примере заменим «плюс» на «минус» и запишем:

4 · 3 — 2 = 4 · 3 — 4 · 2 = 12 — 8 = 4

С другой стороны 4 · 3 — 2 = 4 · 1 = 4 . Таким образом, справедливость свойства умножения натуральных чисел относительно вычитания показана наглядно.

Умножение единицы на натуральное число

Умножение единицы на любое натуральное число в результате дает данное число.

По определению операции умножения, произведение чисел 1 и a равно сумме, в котором слагаемое 1 повторяется a раз.

1 · a = ∑ i = 1 a 1

Умножение натурального числа a на единицу представляет собой сумму, состоящую из одого слагаемого a . Таким образом, переместительное свойство умножения остается справедливым:

Умножение нуля на натуральное число

Число 0 не входит в множество натуральных чисел. Тем не менее, есть смысл рассмотреть свойство умножения нуля на натуральное число. Данное свойство часто используется при умножении натуральных чисел столбиком.

Умножение нуля на натуральное число

Произведение числа 0 и любого натурального числа a равно числу 0 .

По определению, произведение 0 · a равно сумме, в которой слагаемое 0 повторяется a раз. По свойствам сложения, такая сумма равна нулю.

В результате умножения единицы на нуль получается нуль. Произведение нуля на сколь угодно большое натуральное число также дает в результате нуль.

Напимер: 0 · 498 = 0 ; 0 · 9638854785885 = 0

Справедливо и обратное. Произведение числа на нуль также дает в результате нуль: a · 0 = 0 .

www.zaochnik.com

Сочетательный закон

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . 1969—1978 .

Смотреть что такое «Сочетательный закон» в других словарях:

СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН — см. Ассоциативность … Большой Энциклопедический словарь

СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН — СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН, правило сочетания в математике, согласно которому результат двух или более операций не зависит от порядка, в котором эти операции выполняются. Таким образом, обычные операции сложения и умножения чисел подчиняются… … Научно-технический энциклопедический словарь

сочетательный закон — asociatyvumo dėsnis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. associative law vok. assoziatives Gesetz, n rus. ассоциативный закон, m; сочетательный закон, m pranc. loi d associativité, f ryšiai: sinonimas – jungiamumo dėsnis … Automatikos terminų žodynas

сочетательный закон — см. Ассоциативность. * * * СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН, см. Ассоциативность (см. АССОЦИАТИВНОСТЬ) … Энциклопедический словарь

СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН — см. Ассоциативность … Большой энциклопедический политехнический словарь

СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН — см. Ассоциатив ность … Естествознание. Энциклопедический словарь

Сочетательный закон — … Википедия

Ассоциативность (сочетательность, сочетательный закон) — (от лат. associtio соединение) свойство сложения и умножения чисел, выражаемое тождествами (а + b) + с = = а + (b + с) и (аb) с = a (bc) … Начала современного естествознания

ЗАКОН АССОЦИАТИВНОСТИ — (сочетательный закон) закон, выражающий независимость суммы или произведения от замены некоторых слагаемых их суммой или некоторых сомножителей их произведением, т.е. (а + b) + с = а + (b + с) = а + b + с; (аb)с = а(bс) = abc … Большая политехническая энциклопедия

ассоциативный закон — asociatyvumo dėsnis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. associative law vok. assoziatives Gesetz, n rus. ассоциативный закон, m; сочетательный закон, m pranc. loi d associativité, f ryšiai: sinonimas – jungiamumo dėsnis … Automatikos terminų žodynas

dic.academic.ru

Урок математики в 4-м классе по теме «Переместительный и сочетательный законы умножения»

  • научиться применять переместительный и сочетательный законы умножения;
  • совершенствовать умение формулировать вопросы к условию задачи;
  • продолжать развивать вычислительный навык;
  • развивать умение анализировать и делать выводы;
  • познакомиться с некоторыми статьями «Всеобщей декларацией прав человека».

I. Организационный момент

— Запишите число, в котором 1 тысяча 9 сотен 4 десятка 8 единиц (1948).

— Запишите число, в котором 8 единиц 2 тысячи (2008).

— Что вы можете сказать о числе? (Даётся характеристика числу).

— Какие задания вы можете предложить к этим числам?

(Учитель выбирает: сравнить числа; найти разность этих чисел).

— 10 декабря 1948 года Генеральной Ассамблеей ООН была провозглашена «Всеобщая декларация прав человека».

Ассамблея. Это слово стало международным дипломатическим термином для обозначения разного рода общих официальных собраний, организаций и ассоциаций различных стран мира.

Декларация – провозглашение, объявление, оповещение.

ООН – организация объединённых наций.

— Найдите значения выражений («Кто быстрее?»).

837 × 531 (444447)

82618 + 8352 (190970)

— Найдите разность всех ответов.

444447 – 252424 – 1023 – 190970 = 30

— Во «Всеобщей декларации» 30 статей.

III. Работа по теме урока

На доске запись:

— Что вы можете сказать? (Это выражения, произведения из четырёх множителей).

— Запишите первое выражение. Выполните умножение разными способами.

2 × 8 × 9 × 5 = (2 × 8) × (9 × 5) = 16 × 45 = 720

2 × 8 × 9 × 5 = (2 × 9) × (8 × 5) = 18 × 40 = 720

2 × 8 × 9 × 5 = (2 × 5) × (8 × 9) = 10 × 72 = 720

— Какие знания помогли вам выполнить данное задание? (Переместительный и сочетательный законы умножения).

— Подчеркните самый удобный способ для равенства. (Третий). Почему подчёркнутый способ умножения самый удобный? (При умножении чисел 5 и 2 получаем круглый десяток).

— Самостоятельно выполните умножение выражения 25 × 7 × 4 × 11 удобным способом.

— Сейчас вы будете работать в парах. Как вы работаете в парах? (На равных).

— Статья 1 Декларации гласит, что все люди рождаются свободными и равными в своём достоинстве и правах. Они наделены разумом и должны поступать в отношении друг друга в духе братства.

— Как вы понимаете данную статью.

— Задание: составьте и запишите два произведения, в которых те же законы умножения помогут легко найти результат и выполнить вычисления удобным способом.

— Статья 24 гласит, что каждый человек имеет право на отдых и досуг.

IV. Физкульт. минутка

На доске примеры. Задание: чей ряд быстрее решит (выходят по два человека).

V. Закрепление пройденного материала

1. Решение уравнений.

— Перед вами лист, посмотрите на задание. Что вы можете сказать? (Уравнения: простое и сложное).

С : 6 + 2000 = 250 •20 • 4

— Статья 23 гласит, что каждый человек имеет право на труд, на свободный выбор работы… Вам предоставляется выбор: решить простое или сложное уравнение. Сделайте свой выбор и приступайте к выполнению.

2. Решение задачи.

— Статья 18 гласит, что каждый человек имеет право на свободу мысли, совести и религии. (Оглашаются данные: сколько человек каждой национальности учится в школе).

— В Астрахани проживает примерно: русских – 360936 человек, казахов – на 295767 человек меньше, чем русских, татар – на 30078 человек меньше, чем казахов, людей других национальностей – на 5013 человек больше, чем татар.

— Статья 20 гласит, что каждый человек имеет право на свободу мирных собраний и ассоциаций. Вы работаете в группах.

— Задание: сформулируйте всевозможные вопросы к условию задачи, используя все данные.

— Ответьте на вопрос: сколько людей других национальностей проживает в Астрахани?

— Что нового узнали? Что закрепили?

— Статья 26 гласит, что каждый человек имеет право на образование. Воспользуйтесь этим правом.

— Генеральной Ассамблеей ООН 20 ноября 1959 года была провозглашена «Декларация прав ребёнка».

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Смотрите так же:

  • Сроки проверка сообщений о преступлении Комментарий к СТ 144 УПК РФ Статья 144 УПК РФ. Порядок рассмотрения сообщения о преступлении Комментарий к статье 144 УПК РФ: 1. Комментируемая статья регламентирует предварительную процессуальную проверку сообщений о преступлениях, […]
  • Олейник аН институциональная экономика учебное пособие 2013 Институциональная экономика. Олейник А.Н. В учебном пособии излагаются основы институциональной теории, раскрываются такие понятия, как норма, институт, трансакционные издержки и др. Рассматриваются теория игр и моделирование […]
  • Законы о выборах рк Конституционный закон Республики Казахстан "О выборах в Республике Казахстан" (с изменениями и дополнениями по состоянию на 14.06.2010 г.) Глава 1. Общие положения Статья 1. Отношения, регулируемые настоящим Конституционным законом Статья […]
  • Как оформит налоговый вычет на ребенка Как получить налоговый вычет по НДФЛ на детей? Родители ребенка, на обеспечении которых он находится, имеют право ежемесячно получать стандартный налоговый вычет по НДФЛ (далее — вычет на детей). Налоговый вычет позволяет уменьшить доход, […]
  • Приказ министерства здравоохранения от 26 августа 2010 г 761н Приказ Министерства здравоохранения и социального развития РФ от 26 августа 2010 г. N 761н "Об утверждении Единого квалификационного справочника должностей руководителей, специалистов и служащих, раздел "Квалификационные характеристики […]
  • Закон об образовании в рф 2014 с изменениями Федеральный закон от 13 июля 2015 г. N 238-ФЗ "О внесении изменений в Федеральный закон "Об образовании в Российской Федерации" Федеральный закон от 13 июля 2015 г. N 238-ФЗ"О внесении изменений в Федеральный закон "Об образовании в […]