Правила умножения и деления рациональных чисел

Правила умножения и деления рациональных чисел

Чтобы перемножить два рациональных числа, надо перемножить их модули и перед результатом поставить знак плюс, если оба множителя имеют одинаковые знаки, или минус, если множители имеют разные знаки.

Если хоть один множитель равен нулю, то и произведение равно нулю.

0 · (-5) = 0; (+2,5) · 0 = 0.

Чтобы умножить несколько чисел с разными знаками, надо перемножить модули всех чисел и определить знак произведения: если число отрицательных множителей чётное, то произведение будет положительным, если число отрицательных множителей нечетное, то произведение будет отрицательным.

(-5) · (+4) · (-2) · (-3) · (+10) = -1200 (число отрицательных множителей нечетное – три).

(+2,5) · (-7,3) · (+ 4) · (-2) · (-1) · (+4) · (-0,5) = +292 (число отрицательных множителей четное – четыре).

Законы умножения натуральных чисел справедливы для всех рациональных чисел.

Схема определения знака произведения двух рациональных чисел:

Частное от деления двух рациональных чисел с одинаковыми знаками равно частному их модулей.

Частное от деления двух рациональных чисел с противоположными знаками равно частному их модулей, взятому со знаком минус.

(-48) : (+12) = -4; (+16,8) : (-8) = -2,1.

Схема определения знака частного двух рациональных чисел:

files.school-collection.edu.ru

Произведение двух (и вообще любого конечного числа) рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей перемножаемых дробей:

Частное от деления двух рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителя первой дроби на знаменатель второй дроби, а знаменатель — произведению знаменателя первой дроби на числитель второй дроби:

Сформулированные правила умножения, и деления распространяются и на случай умножения или деления на многочлен: достаточно записать этот многочлен в виде дроби со знаменателем 1.

Учитывая возможность сокращения рациональной дроби, полученной в результате умножения или деления рациональных дробей, обычно стремятся до выполнения этих операций разложить на множители числители и знаменатели исходных дробей.

Пример 1. Выполнить умножение

Использовав правило умножения дробей, получаем:

Пример 2. Выполнить деление

Решение. Имеем

edu.alnam.ru

Умножение рациональных чисел

Правило. При умножении двух рациональных чисел умножаются их абсолютные величины (модули чисел) и перед произведением ставится знак, зависящий от знаков множителей.

Знак произведения определяется по таблице знаков.

Если произведение содержит более двух рациональных чисел, то результат можно определить поэтапно («шаг за шагом»), на каждом этапе вычисляя произведение двух сомножителей. А можно по особому правилу определить знак произведения для всех множителей сразу.

Правило. Если в произведении все числа положительные, то модуль их произведения равен произведению модулей всех множителей, а знак произведения — «+».

Если в произведении есть числа положительные и отрицательные, то модуль их произведения равен произведению модулей всех множителей, а знак произведении «+» — при четном количестве отрицательных множителей (минусов) и «-» — при нечетном количестве отрицательных множителей (минусов).

Например:
2 — 13 * 7 * 24 = 4 368
2 * (-13) * (-7) * 24 = 4 368, т. к. количество минусов четное;
(-2) * (-13) * (-7) * 24 = -4 368, т. к. количество минусов нечетное.

Правило. Если при умножении рациональных чисел одни или несколько множителей равны 0, то все произведение равно 0.

Например:
2 * 0,71 * 172 * 0 * (176 — 176) = 0

Разность (176 — 176) равна 0, следовательно, во втором примере среди множителей — два нуля.

В буквенных выражениях и уравнениях чаще всего используется обратное правило.

Обратное правило. Если произведение равно 0, то хотя бы один из множителей равен 0.

Законы умножения натуральных чисел работают и при умножении рациональных чисел.

shkolo.ru

6.3.3. Деление рациональных чисел

Деление отрицательных чисел.

Частное двух отрицательных чисел есть число положительное. Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя.

Так как частное двух положительных чисел — это тоже число положительное, то делаем ВЫВОД:

Частное двух чисел с одинаковыми знаками есть число положительное. Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя.

Пример 1. Выполнить деление (устно):

а) -24:(-10); б) -370: (-1000); в) -253: (-11); г) -18,72: (-6).

Решение. Знак результата «+» (по правилу деления отрицательных чисел). В примерах а) и б) используем правило деления числа на 10, 100, 1000 и т. д. Если забыли — смотрите здесь. В примере в) вспомните, как умножается двузначное число на 11 (цифры двузначного числа раздвигаются и между ними ставится число, равное сумме двух крайних цифр).

а) -24:(-10)=2,4; б) -370: (-1000)=0,37; в) -253: (-11)=23; г) -18,72: (-6)=3,12.

Пример 2. Вычислить:

Решение. По правилу деления отрицательных чисел результат будет положительным числом. Модуль частного в примерах а) и б) вычисляем по правилу деления на десятичную дробь. Повторить это можно здесь. В примерах в) и г) вначале обращаем смешанные числа в неправильные дроби, а затем используем правило деления обыкновенных дробей. Если забыли, как это делается, смотрите здесь!

Деление чисел с разными знаками.

Частное двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя.

ВЫВОД: и при умножении и при делении двух чисел с разными знаками — ответ будет со знаком «-».

Пример 3. Найти частное чисел:

Решение. Применяйте правила, решайте самостоятельно и только потом сверяйтесь с приведенным ниже решением.

Все получилось? Продолжим.

Пример 4. Вычислить:

Решайте и сверяйтесь!

Решение.

Желаю успехов в учебе!

www.mathematics-repetition.com

Действия с рациональными числами, правила, примеры, решения.

В этой статье мы разберем основные арифметические действия с рациональными числами: сложение, вычитание, умножение и деление, дадим правила выполнения этих действий и рассмотрим решения примеров.

Навигация по странице.

Сложение рациональных чисел

Так как рациональные числа содержат натуральные числа, то смысл сложения рациональных чисел, должен быть согласован со смыслом сложения натуральных чисел. К примеру, сумма рациональных чисел вида 2+1/3 может означать такое действие: к 2 целым предметам добавили одну третью часть такого предмета, и теперь они рассматриваются совместно.

Теперь можно переходить к правилам сложения рациональных чисел, и к рассмотрению примеров применения этих правил.

Сложение нуля с другим рациональным числом

Сформулируем правило сложения рационального числа с нулем: прибавление нуля к любому числу дает это же число. С помощью букв это правило записывается так: a+0=a для любого рационального a , а в силу переместительного свойства сложения рациональных чисел также справедливо равенство 0+a=a .

Приведем пару примеров. Сумма рационального числа 0,5 и числа 0 равна 0,5 . Еще пример: .

Сложение противоположных рациональных чисел

Теперь установим, как проводится сложение противоположных рациональных чисел: сумма противоположных чисел равна нулю. В буквенном виде это правило имеет такую запись: a+(−a)=0 , для любого рационального a .

Например, рациональные числа 4,(35) и −4,(35) – противоположные, значит, их сумма равна нулю, то есть, 4,(35)+(−4,(35))=0 . Другой пример: .

Сложение положительных рациональных чисел

Любое положительное рациональное число можно записать в виде обыкновенной дроби. Таким образом, для сложения положительных рациональных чисел нужно знать, как рациональные числа приводятся к виду обыкновенных дробей, и как выполняется сложение обыкновенных дробей.

Сложите рациональные числа 0,7 и 7/8 .

Выполнив перевод десятичной дроби в обыкновенную, от суммы 0,7+7/8 приходим к сумме 7/10+7/8 . Осталось провести сложение обыкновенных дробей с разными знаменателями: .

.

Если складываемые рациональные числа можно записать как конечные десятичные дроби, либо как смешанные числа, то можно выполнить сложение десятичных дробей и сложение смешанных чисел соответственно.

Сложение рациональных чисел с разными знаками

Для сложения рациональных чисел с разными знаками используется правило сложения чисел с разными знаками: из большего модуля слагаемых надо вычесть меньший, и перед полученным числом поставить знак того числа, модуль которого больше.

Выполните сложение рациональных чисел с разными знаками 7,2 и .

Нам нужно сложить положительное число с отрицательным. По правилу сложения чисел с разными знаками нам сначала нужно найти модули слагаемых: . Сравнение рациональных чисел 7,2 и дает , значит, остается от 7,2 отнять , и перед полученным числом поставить знак плюс. Заменив десятичную дробь 7,2 смешанным числом , приходим к вычитанию смешанных чисел: . Перед полученным числом нет смысла ставить знак плюс, так как запись отвечает числу .

.

Сложение отрицательных рациональных чисел

Сложение отрицательных рациональных чисел проводится по правилу сложения отрицательных чисел: складываются модули слагаемых и перед полученным числом ставится знак минус.

Приведем пример сложения отрицательных рациональных чисел.

Сложите отрицательное число −4,0203 с отрицательным числом −12,193 .

Модули складываемых чисел равны 4,0203 и 12,193 соответственно. Сложим десятичные дроби столбиком:

Осталось перед полученным числом поставить знак минус, имеем −16,2133 .

Вычитание рациональных чисел

Переходим к рассмотрению следующего действия над рациональными числами – вычитания. Вычитание является действием, обратным к сложению. То есть, вычитание – это нахождение неизвестного слагаемого по сумме и известному слагаемому. Это также означает, что из равенства c+b=a следует, что a−b=с и a−c=b , и наоборот, из равенств a−b=с и a−c=b следует, что c+b=a .

Вычитание из большего положительного рационального числа меньшего числа сводится либо к вычитанию обыкновенных дробей, либо, если это удобно, к вычитанию десятичных дробей или вычитанию смешанных чисел.

Вычислите разность рациональных чисел вида .

Для начала будем действовать как при переводе периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь: . Так мы приходим к вычитанию обыкновенной дроби из смешанного числа: .

.

В остальных случаях вычитание рациональных чисел заменяется сложением: к уменьшаемому прибавляется число, противоположное вычитаемому. То есть, a−b=a+(−b) .

Это равенство доказывается на основании свойств действий с рациональными числами. Они позволяют записать такую цепочку равенств: (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a , откуда в силу смысла вычитания следует, что сумма вида a+(−b) является разностью чисел a и b .

Выполните вычитание из рационального числа 2/7 рационального числа .

Число, противоположное вычитаемому, есть . Тогда . Так мы пришли к сложению рациональных чисел с разными знаками, имеем .

.

Понятие числа расширяется от натуральных чисел к целым, а от целых чисел к рациональным. Это объясняет тот факт, что действия с целыми числами обладают всеми свойствами действий с натуральными числами. Следовательно, действия с рациональными числами должны обладать всеми свойствами действий с целыми числами. Однако для умножения рациональных чисел характерно еще одно свойство — свойство умножения взаимно обратных чисел.

С указанным принципом согласуются все перечисленные ниже правила умножения рациональных чисел.

Умножение на нуль

Начнем с правила умножения рационального числа на нуль: произведение любого числа a на нуль есть нуль. Запишем это утверждение в буквенном виде: a·0=0 для любого рационального числа a , а в силу переместительного свойства умножения это равенство можно переписать как 0·a=0 .

Приведем примеры. Умножение рационального числа 5/12 на 0 дает 0 , произведение нуля и отрицательного рационального числа также равно нулю. В частности произведение нуля на нуль есть нуль, то есть, 0·0=0 .

Умножение на единицу

Теперь озвучим правило умножения рационального числа на единицу: умножение любого рационального числа a на 1 в результате дает число a . То есть, a·1=a или 1·a=a , для любого рационального a . Таким образом, единица является нейтральным числом по умножению.

Например, умножение рационального числа 4,73 на 1 в результате дает 4,73 . Другой пример: произведение равно .

Произведение взаимно обратных чисел

Если множители являются взаимно обратными числами, то их произведение равно единице. То есть, a·a −1 =1 .

Так произведение взаимно обратных чисел 7/8 и 8/7 равно единице. Аналогично, умножение −1,5 на −0,(6) в результате дает 1 , так как −1,5=−3/2 и −0,(6)=−2/3 , а −3/2 и −2/3 – взаимно обратные числа.

Умножение положительных рациональных чисел

В общем случае умножение положительных рациональных чисел можно свести к умножению обыкновенных дробей. Для этого множители нужно представить в виде обыкновенных дробей, если они сразу не являются таковыми.

Вычислите произведение положительных рациональных чисел 0,4 и 5/28 .

Представим десятичную дробь 0,4 в виде обыкновенной дроби: 0,4=4/10=2/5 . Таким образом, . Осталось выполнить умножение обыкновенных дробей: . На этом умножение исходных рациональных чисел завершено.

Вот все решение: .

.

Иногда удобно работать с конечными десятичными дробями, не выполняя переход к обыкновенным дробям.

Вычислите произведение рациональных чисел вида 2,121·3,4 .

Здесь мы можем выполнить умножение десятичных дробей столбиком:

Проведите умножение рациональных чисел 0,(1) и 3 .

Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь: . Таким образом, от умножения исходных рациональных чисел 0,(1) и 3 ми переходим к умножению обыкновенной дроби 1/9 на 3 . В итоге имеем .

.

Умножение рациональных чисел с разными знаками

Для умножения рациональных чисел с разными знаками применяется правило умножения чисел с разными знаками: надо умножить модули множителей и перед полученным числом поставить знак минус. Это правило позволяет от умножения рациональных чисел с разными знаками перейти к умножению положительных рациональных чисел, с которым мы разобрались в предыдущем пункте.

Рассмотрим решение примера.

Выполните умножение отрицательного рационального числа на положительное рациональное число .

По правилу умножения чисел с разными знаками имеем . Заменив смешанные числа соответствующими неправильными дробями, завершаем вычисления .

.

Умножение отрицательных рациональных чисел

Умножение отрицательных рациональных чисел сводится к умножению положительных чисел. При этом применяется следующее правило умножения отрицательных чисел: нужно перемножить модули множителей.

Рассмотрим применение этого правила при решении примера.

Выполните умножение отрицательных рациональных чисел −3,146 и −56 .

Модули множителей равны соответственно 3,146 и 56 . Вычислим их произведение, для этого выполним умножение столбиком:

Таким образом, произведение исходных отрицательных рациональных чисел равно 176,176 .

Деление рациональных чисел

Деление представляет собой действие, обратное умножению. Иными словами, деление – это нахождение неизвестного множителя по известному произведению и другому множителю. То есть, смысл деления таков: из равенства b·c=a следует, что a:b=c и a:c=b , и, наоборот, из равенств a:b=c и a:c=b следует, что b·c=a .

На множестве рациональных чисел деление сложно считать самостоятельным действием, так как оно выполняется посредством умножения. Об этом свидетельствует следующее правило деления рациональных чисел: разделить число a на отличное от нуля число b – это все равно, что умножить делимое a на число, обратное делителю. То есть, на множестве рациональных чисел a:b=a·b −1 .

Доказать это равенство не составляет труда. Действительно, в силу свойств действий с рациональными числами справедливы равенства (a·b −1 )·b=a·(b −1 ·b)=a·1=a , которые доказывают равенство a:b=a·b −1 .

Итак, деление рационального числа на отличное от нуля рациональное число сводится к умножению рациональных чисел.

Осталось лишь рассмотреть пример деления рациональных чисел по озвученному правилу.

Выполните деление .

Найдем число, обратное делителю . Запишем это число в виде неправильной дроби: . Тогда число, обратное этой дроби есть .

Теперь мы можем по правилу деления перейти от деления рациональных чисел к умножению, что позволит нам закончить вычисления: .

.

www.cleverstudents.ru

Смотрите так же:

  • Приказ минторга ссср 310 О введении Сборника рецептур блюд и кулинарных изделий для предприятий общественного питания Приказ Минторга СССР от 12.12.1980 N 310 Крупы перебирают, промывают несколько раз, меняя воду. Перловую крупу после промывания закладывают в […]
  • Смещение графиков правило Преобразования графиков Если Вы знаете, как выглядят графики простейших элементарных функций, или умеете быстро строить их по характерным точкам, то сумеете также быстро построить на их основе графики более сложных функций того же класса. […]
  • Нотариус центральный округ Нотариусы округа Москвы Центральный округ (ЦАО) Ниже представлен список нотариусов в выбранной категории. Чтобы посмотреть подробную информацию по конкретному нотариусу, кликните по ФИО нотариуса. Нотариус Агамиров Натиг […]
  • Федеральный закон о ветеранах гарант Федеральный закон от 8 мая 2005 г. N 41-ФЗ "О внесении изменений в Федеральный закон "О ветеранах" Федеральный закон от 8 мая 2005 г. N 41-ФЗ"О внесении изменений в Федеральный закон "О ветеранах" Принят Государственной Думой 15 апреля […]
  • Приказ минздрава no 169 Приказ Министерства здравоохранения и социального развития РФ от 5 марта 2011 г. N 169н "Об утверждении требований к комплектации изделиями медицинского назначения аптечек для оказания первой помощи работникам" Приказ Министерства […]
  • Постановления пленума верховного суда 2018г Постановление Пленума Верховного Суда Российской Федерации от 15 мая 2018 г. N 10 г. Москва "О практике применения судами положений части 6 статьи 15 Уголовного кодекса Российской Федерации" Комментарии Российской Газеты В связи с […]