Общая схема исследования функции и построение графика правило

Общее исследование функции и построение ее графика рекомендуется выполнять по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.

2. Проверить, не является ли функция четной или нечетной; проверить также, не является ли она периодической.

3. Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства функции. Иногда для уточнения построения графика следует найти две-три дополнительные точки.

4. Найти производную функции и ее критические точки.

5. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.

6. Построить график функции, используя полученные результаты исследования.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Исследовать функцию и построить ее график:

Решение. 1) 1. Область определения — множество

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

3. Найдем точки пересечения графика с осью (т. е. нули функции):

Возьмем также две дополнительные точки, например:

4. Находим производную:

Приравняв производную нулю, получим критические точки:

5. Найденные критические точки разбивают числовую прямую на четыре промежутка:

В первой строке таблицы в порядке возрастания расположены критические точки функции и ограниченные ими промежутки, во второй отмечены знаки производной в этих промежутках. В третьей строке записаны выводы об изменении функции, вычислены значения функции в точках экстремума и указано, какая из точек является точкой минимума, а какая — точкой максимума.

6. Используя результаты исследования, строим график функции (рис. 186).

2) 1. Функция определена при всех значениях х, кроме Отметим,

что при и при кроме того, при

2. Функция является нечетной, так как Следовательно, ее график симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию лишь на промежутке

3. Если то т. е. точка (0; 0) принадлежит графику функции. Возьмем также две дополнительные точки, например:

4. Находим произвольную

5. Очевидно, что при всех значениях Следовательно, функция убывает на промежутках Экстремумов функция не имеет.

6. На основании полученных сведений строим график функции (рис. 187).

3) Находим Имеем Следовательно, функция нечетная.

Функция периодическая с основным периодом Поскольку период функции равен достаточно провести исследование только от до , построить график функции на отрезке и продолжить его, пользуясь периодичностью. Но так как функция является нечетной, то достаточно исследовать функцию и построить ее график на отрезке , затем, пользуясь симметрией относительно начала координат, отразить его на

отрезок и далее уже воспользоваться периодичностью данной функции. Итак, дальнейшее исследование проведем для отрезка .

Найдем точки пересечения графика с осью Для этого решим уравнение имеем На отрезке последнее уравнение имеет два корня: Следовательно, график функции не пересекает оси абсцисс ни в какой внутренней точке отрезка .

В интервале функция принимает только положительные значения.

Функция непрерывная и периодическая, следовательно, асимптот график функции не имеет. Найдем значения функции на концах отрезка , имеем

Найдем точки экстремума. Так как то, приравняв производную нулю, получим Далее последнее уравнение преобразуем так:

Решим полученные уравнения. Из первого уравнения находим из второго (напомним, что мы ограничиваемся пока отрезком

Таким образом, внутри отрезка имеется только одна точка которую надо проверить. Ясно, что эта точка максимума, поскольку, как мы отметили уже, на концах отрезка функция обращается в нуль, а всюду внутри отрезка она положительна.

Найдем значение функции в точке максимума:

Можно составить таблицу значений функции для некоторых значений аргумента:

Теперь, пользуясь полученными результатами, построим график функции сначала на отрезке а затем и на всей числовой прямой (рис. 188).

edu.alnam.ru

Найдем точки пересечения графика с осями координат: y = 0 при x = 3 (точка пересечения с осью 0X); приx= 0y= 9 (точка пересечения с осью0Y).

2 0 . В точкеx=1 знаменатель дроби равен нулю, т.е.x= 1 – точка разрыва функции, а.

Точка x= 1 – точка бесконечного разрыва (II рода) и прямаяx= 1 является вертикальной асимптотой графика.

Найдем наклонную асимптоту y=kx+b:

.

=5.

Итак, наклонная асимптота y= 5 –x.

3 0 . Исследование функции с помощью первой производной:

.

при – стационарные точки,не существует приx=1 (в точке разрыва функции).

Отметим на числовой оси стационарные точки, точки разрыва функции и производной. Эти точки отделяют интервалы монотонности функции. Определим знаки в каждом из этих интервалов.

На интервалах , значит, функцияy(x) здесь убывает; на интервалах (–1, 1) и (1, 3) производная , следовательно, эти интервалы являются интервалами возрастания функции.

При переходе слева направо через точку x= –1 производнаяменяет знак с (–) на (+), следовательно,x=–1 – точка минимума,; при переходе через точкуx= 1 производная неменяет знака; при переходе же через точку x = 3 производная меняет знак с (+) на (–), значит, x = 3 – точка максимума,.

4 0 . Вычислим вторую производную:

.

Вторая производная в нуль не обращается, точек перегиба график не имеет. На интервале вторая производная положительна, график функции выпуклый. На интервалеграфик функции вогнутый.

Точка разрыва функции x= 1 отделяет выпуклую часть графика функции от вогнутой.

5 0 . График функции, построенный по результатам исследования, изображен на рис. 23.

3. Элементы интегрального исчисления

3.1. Понятие первообразной. Основные правила интегрирования

В предыдущей главе “Дифференциальное исчисление” мы решали следующую задачу: по данной функции найти ее производную. Во многих вопросах науки и техники приходится решать обратную задачу, а именно, восстанавливать функцию по известной ее производной. Эта обратная операция более сложная, чем предыдущая прямая задача.

Пусть дана функция f(x), которая является производной функцииF(x), и, зная функциюf(x), будем искатьF(x),для которойf(x) служит производной.

Определение.ФункцияF(x) называетсяпервообразнойфункцией для функцииf(x), еслиf(x) является производной дляF(x) или, что то же, выражениеf(x)dxслужит дифференциалом дляF(x) на данном промежутке измененияx:

или dF(x)=f(x)dx.

Так, например, для функции первообразной будет, так как.

Задача отыскания по данной функции ее первообразной решается неоднозначно. Например, есть первообразная для, так как. Но функциятакже будет первообразной для, так как. Вообще, любая функция, гдеc– произвольная постоянная, имеет производнуюи потому будет первообразной для.

Задача отыскания всех первообразных для f(x) является одной из основных задач интегрального исчисления.

Возникают три вопроса: всякая ли функция f(x) имеет первообразную? если первообразная существует, то единственна ли она? как находить первообразную?

На второй вопрос мы уже можем ответить. Справедливо следующее утверждение: если функция F(x) есть первообразная дляf(x) на некотором промежутке измененияx, тоF(x)+c, гдеc– любая постоянная, также будет первообразной. И обратно, каждая первообразная дляf(x) может быть представлена в видеF(x)+c. Таким образом, выражениеF(x)+cпредставляет собой общий вид первообразных дляf(x).

Совокупность всех первообразных для f(x) называется неопределенным интегралом функцииf(x) и обозначается

.

Операцию отыскания всех первообразных для f(x), т.е. отыскание неопределенного интеграла, называютинтегрированием функции f(x); функциюf(x) называютподынтегральной функцией, а выражениеf(x)dxподынтегральным выражением.

Для ответа на второй вопрос сформулируем теорему, дающую достаточное условие интегрируемости функции на интервале.

Теорема.Если функцияf(x) непрерывна на данном промежутке, то она имеет на этом промежутке первообразную, т.е. существует.

Это утверждение мы примем без доказательства. Заметим только, что условие непрерывности не является необходимым для интегрируемости функции (например, функции, имеющие конечное число точек разрыва I рода на промежутке, также имеют первообразную). Ответ на вопрос, как найти первообразную для функции f(x), не прост. Начнем с того, что перечислим основные свойства неопределенного интеграла, или простейшие правила интегрирования.

1. , т.е.или.

2. или.

Выполнение этих свойств следует непосредственно из определения неопределенного интеграла и первообразной.

Свойства 1, 2 показывают, что если функцию f(x) проинтегрировать, а затем продифферен-цировать, то получим снова функциюf(x) .

Если к F(x) сначала применить операцию дифференцирования, а затем интегрирования, то получим сноваF(x), правда, следует прибавить к ней постояннуюc. Операции интегрирования и дифференцирования являются взаимно обратными.

3. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов, т.е.

.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

Для проверки всех этих простейших правил интегрирования достаточно продифференцировать обе части равенства.

studfiles.net

Общая схема исследования функции и построение графика правило

При исследовании функций и построении их графиков целесообразно пользоваться следующей схемой.

1. Нахождение области определения функции.

2. Исследование функции на четность и нечетность.

3. Установление области непрерывности функции и точек разрыва. Отыскание вертикальных асимптот.

4. Исследование поведения функции при (если она там определена). Отыскание горизонтальных и наклонных асимптот.

5. Нахождение экстремумов и интервалов монотонности функции. Составление таблицы.

6. Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции.

7. Нахождение точек пересечения графика функции с осями, интервалов знакопостоянства функции. Составление таблицы. Отыскание дополнительных точек для построения графика.

8. Построение графика функции.

Пример . Исследуйте функцию и постройте ее график.

1. Область определения функции .

2. , и . Следовательно, данная функция ни четная, ни нечетная.

3. Функция непрерывна в области определения, как частное двух непрерывных функций. Исследуем точку :

, .

Поэтому — точка разрыва функции с бесконечным скачком, а прямая — вертикальная асимптота графика функции.

4. Вычислим пределы при .

Так как , то . Следовательно, прямая — левосторонняя горизонтальная асимптота графика.

С другой стороны, .

Правосторонней горизонтальной асимптоты не существует.

Будем искать правостороннюю наклонную асимптоту.

, так как уже был вычислен . При нет асимптоты ни горизонтальной, ни наклонной.

5. Находим .

Производная равна нулю в точке .

lms2.sseu.ru

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Правила ввода функции

  1. Примеры
    ≡ x^2/(x+2)
    cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
    ≡ x+(x-1)^(2/3)

Пример №1 . Провести полное исследование функции и построить ее график.

1) Функция определена всюду, кроме точек .

2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f(x) , и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому ограничимся исследованием только для 0 ≤ x ≤ +∞.

3) Функция не периодическая.

4) Так как y=0 только при x=0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат.

5) Функция имеет разрыв второго рода в точке , причем , . Попутно отметим, что прямая – вертикальная асимптота.

6) Находим и приравниваем ее к нулю: , откуда x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На экстремум надо исследовать только точку x=3 (точку x2=0 не исследуем, так как она является граничной точкой промежутка [0, +∞)).

В окрестности точки x3=3 имеет: y’>0 при x 3, следовательно, в точке x3 функция имеет максимум, ymax(3)=-9/2. Найти первую производную функции

7) Находим . Видим, что y’’=0 только при x=0, при этом y” 0 при x>0, следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. Иногда направление вогнутости может измениться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить знак y” и около точек разрыва функции. В нашем случае y”>0 на промежутке (0, ) и y” Найти вторую производную функции

8) Выясним вопрос об асимптотах.

Наличие вертикальной асимптоты установлено выше. Ищем горизонтальные: , следовательно, горизонтальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты: , , следовательно, y=-x – наклонная двусторонняя асимптота.

9) Теперь, используя полученные данные, строим чертеж: Построить график функции

Пример №2 . Построить график функции
.
Решение.
1. Область определения функции D(y) = (-∞;0)U(0;∞).
2. Функция не является четной или нечетной.
3. Найдем точки пересечения графика с осью ОХ; имеем
; .
4. Точки разрыва x=0 , причем ; следовательно, x=0 является вертикальной асимптотой графика.
Найдем наклонные асимптоты:
;
.
Наклонная асимптота имеет уравнение y=x .
5. Найдем экстремум функции и интервалы возрастания и убывания. Имеем . Существует единственная критическая точка x =2. В промежутках x∈(-∞ ;0)∪(2; +∞) y’>0, следовательно, функция возрастает; в промежутке x∈(0;2) y’ 0, следовательно, x=2 – точка минимума ymin=3.
6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба. Так как y’’>0 (x≠0), то график функции всюду вогнут. Точек перегиба кривая не имеет.
Строим график функции.

math.semestr.ru

Как исследовать функцию и построить её график?

Похоже, я начинаю понимать одухотворённо-проникновенный лик вождя мирового пролетариата, автора собрания сочинений в 55 томах…. Нескорый путь начался элементарными сведениями о функциях и графиках, и вот сейчас работа над трудоемкой темой заканчивается закономерным результатом – статьёй о полном исследовании функции. Долгожданное задание формулируется следующим образом:

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и на основании результатов исследования построить её график

Или короче: исследовать функцию и построить график.

Зачем исследовать? В простых случаях нас не затруднит разобраться с элементарными функциями, начертить график, полученный с помощью элементарных геометрических преобразований и т.п. Однако свойства и графические изображения более сложных функций далеко не очевидны, именно поэтому и необходимо целое исследование.

Основные этапы решения сведены в справочном материале Схема исследования функции, это ваш путеводитель по разделу. Чайникам требуется пошаговое объяснение темы, некоторые читатели не знают с чего начать и как организовать исследование, а продвинутым студентам, возможно, будут интересны лишь некоторые моменты. Но кем бы вы ни были, уважаемый посетитель, предложенный конспект с указателями на различные уроки в кратчайший срок сориентирует и направит Вас в интересующем направлении. Роботы прослезились =) Руководство свёрстано в виде pdf-файла и заняло заслуженное место на странице Математические формулы и таблицы.

Исследование функции я привык разбивать на 5-6 пунктов:

1) Область определения, непрерывность, четность/нечётность, периодичность функции.

2) Асимптоты графика функции.

6) Дополнительные точки и график по результатам исследования.

На счёт заключительного действия, думаю, всем всё понятно – будет очень обидно, если в считанные секунды его перечеркнут и вернут задание на доработку. ПРАВИЛЬНЫЙ И АККУРАТНЫЙ ЧЕРТЁЖ – это основной результат решения! Он с большой вероятностью «прикроет» аналитические оплошности, в то время как некорректный и/или небрежный график доставит проблемы даже при идеально проведённом исследовании.

Следует отметить, что в других источниках количество пунктов исследования, порядок их выполнения и стиль оформления могут существенно отличаться от предложенной мной схемы, но в большинстве случаев её вполне достаточно. Простейшая версия задачи состоит всего из 2-3 этапов и формулируется примерно так: «исследовать функцию с помощью производной и построить график» либо «исследовать функцию с помощью 1-й и 2-й производной, построить график».

Естественно – если в вашей методичке подробно разобран другой алгоритм или ваш преподаватель строго требует придерживаться его лекций, то придётся внести некоторые коррективы в решение. Не сложнее, чем заменить вилку бензопилой ложкой.

Итак, вооружившись общей схемой исследования, где рассмотрена структура и техника выполнения задачи, переходим к изучению стратегии и тактики действий. Успешно прошедшим курс обучения откроется тайна числа 69 😉 С нетерпением скрипим колёсиком мыши =)

Исследовать функцию и по результатам исследования построить график.

Решение:
1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой: . Это очень хорошо, отпадают вертикальные асимптоты.

Проверим функцию на чётность/нечётность:

После чего следует шаблонная отписка:
, значит, данная функция не является чётной или нечётной.

Очевидно, что функция непериодическая.

2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности.

Так как функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют.


Нет и наклонных асимптот.

Примечание: напоминаю, что более высокого порядка роста, чем , поэтому итоговый предел равен именно «плюс бесконечности».

Выясним, как ведёт себя функция на бесконечности:

Иными словами, если идём вправо, то график уходит бесконечно далеко вверх, если влево – бесконечно далеко вниз. Да, здесь тоже два предела под единой записью. Если у вас возникли трудности с расшифровкой знаков , пожалуйста, посетите урок о бесконечно малых функциях.

Таким образом, функция не ограничена сверху и не ограничена снизу. Учитывая, что у нас нет точек разрыва, становится понятна и область значений функции: – тоже любое действительное число.

ПОЛЕЗНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ПРИЁМ

Каждый этап задания приносит новую информацию о графике функции, поэтому в ходе решения удобно использовать своеобразный МАКЕТ. Изобразим на черновике декартову систему координат. Что уже точно известно? Во-первых, у графика нет асимптот, следовательно, прямые чертить не нужно. Во-вторых, мы знаем, как функция ведёт себя на бесконечности. Согласно проведённому анализу, нарисуем первое приближение:

Заметьте, что в силу непрерывности функции на и того факта, что , график должен, по меньшей мере, один раз пересечь ось . А может быть точек пересечения несколько?

3) Нули функции и интервалы знакопостоянства.

Сначала найдём точку пересечения графика с осью ординат. Это просто. Необходимо вычислить значение функции при :

Полтора над уровнем моря.

Чтобы найти точки пересечения с осью (нули функции) требуется решить уравнение , и тут нас поджидает неприятный сюрприз:

В конце притаился свободный член, который существенно затрудняет задачу.

Такое уравнение имеет, как минимум, один действительный корень, и чаще всего этот корень иррационален. В худшей же сказке нас поджидают три поросёнка. Уравнение разрешимо с помощью так называемых формул Кардано, но порча бумаги сопоставима чуть ли не со всем исследованием. В этой связи разумнее устно либо на черновике попытаться подобрать хотя бы один целый корень. Проверим, не являются ли оными числа :
– не подходит;
– есть!

Здесь повезло. В случае неудачи можно протестировать ещё и , а если и эти числа не подошли, то шансов на выгодное решение уравнения, боюсь, очень мало. Тогда пункт исследования лучше полностью пропустить – авось станет что-нибудь понятнее на завершающем шаге, когда будут пробиваться дополнительные точки. И если таки корень (корни) явно «нехорошие», то об интервалах знакопостоянства лучше вообще скромно умолчать да поаккуратнее выполнить чертёж.

Однако у нас есть красивый корень , поэтому делим многочлен на без остатка:

Алгоритм деления многочлена на многочлен детально разобран в первом примере урока Сложные пределы.

В итоге левая часть исходного уравнения раскладывается в произведение:

А теперь немного о здоровом образе жизни. Я, конечно же, понимаю, что квадратные уравнения нужно решать каждый день, но сегодня сделаем исключение: уравнение имеет два действительных корня .

На числовой прямой отложим найденные значения и методом интервалов определим знаки функции:

Таким образом, на интервалах график расположен
ниже оси абсцисс , а на интервалах – выше данной оси .

Полученные выводы позволяют детализировать наш макет, и второе приближение графика выглядит следующим образом:

Обратите внимание, что на интервале функция обязательно должна иметь хотя бы один максимум, а на интервале – хотя бы один минимум. Но сколько раз, где и когда будет «петлять» график, мы пока не знаем. К слову, функция может иметь и бесконечно много экстремумов.

4) Возрастание, убывание и экстремумы функции.

Найдём критические точки:

Данное уравнение имеет два действительных корня . Отложим их на числовой прямой и определим знаки производной:

Следовательно, функция возрастает на и убывает на .
В точке функция достигает максимума: .
В точке функция достигает минимума: .

Установленные факты загоняют наш шаблон в довольно жёсткие рамки:

Что и говорить, дифференциальное исчисление – штука мощная. Давайте окончательно разберёмся с формой графика:

5) Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдём критические точки второй производной:

Определим знаки :

График функции является выпуклым на и вогнутым на . Вычислим ординату точки перегиба: .

Практически всё прояснилось.

6) Осталось найти дополнительные точки, которые помогут точнее построить график и выполнить самопроверку. В данном случае их мало, но пренебрегать не будем:

Выполним чертёж:

Зелёным цветом отмечена точка перегиба, крестиками – дополнительные точки. График кубической функции симметричен относительно своей точки перегиба, которая всегда расположена строго посередине между максимумом и минимумом.

По ходу выполнения задания я привёл три гипотетических промежуточных чертежа. На практике же достаточно нарисовать систему координат, отмечать найденные точки и после каждого пункта исследования мысленно прикидывать, как может выглядеть график функции. Студентам с хорошим уровнем подготовки не составит труда провести такой анализ исключительно в уме без привлечения черновика.

Для самостоятельного решения:

Исследовать функцию и построить график.

Тут всё быстрее и веселее, примерный образец чистового оформления в конце урока.

Немало секретов раскрывает исследование дробно-рациональных функций:

Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и на основании результатов исследования построить её график.

Решение: первый этап исследования не отличается чем-то примечательным, за исключением дырки в области определения:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , область определения: .


, значит, данная функция не является четной или нечетной.

График функции представляет собой две непрерывные ветви, расположенные в левой и правой полуплоскости – это, пожалуй, самый важный вывод 1-го пункта.

а) С помощью односторонних пределов исследуем поведение функции вблизи подозрительной точки, где явно должна быть вертикальная асимптота:

Действительно, функции терпит бесконечный разрыв в точке ,
а прямая (ось ) является вертикальной асимптотой графика .

б) Проверим, существуют ли наклонные асимптоты:

Да, прямая является наклонной асимптотой графика , если .

Пределы анализировать смысла не имеет, поскольку и так понятно, что функция в обнимку со своей наклонной асимптотой не ограничена сверху и не ограничена снизу.

Второй пункт исследования принёс много важной информации о функции. Выполним черновой набросок:

Вывод №1 касается интервалов знакопостоянства. На «минус бесконечности» график функции однозначно расположен ниже оси абсцисс, а на «плюс бесконечности» – выше данной оси. Кроме того, односторонние пределы сообщили нам, что и слева и справа от точки функция тоже больше нуля. Обратите внимание, что в левой полуплоскости график, по меньшей мере, один раз обязан пересечь ось абсцисс. В правой полуплоскости нулей функции может и не быть.

Вывод №2 состоит в том, что функция возрастает на и слева от точки (идёт «снизу вверх»). Справа же от данной точки – функция убывает (идёт «сверху вниз»). У правой ветви графика непременно должен быть хотя бы один минимум. Слева экстремумы не гарантированы.

Вывод №3 даёт достоверную информацию о вогнутости графика в окрестности точки . О выпуклости/вогнутости на бесконечностях мы пока ничего сказать не можем, поскольку линия может прижиматься к своей асимптоте как сверху, так и снизу. Вообще говоря, есть аналитический способ выяснить это прямо сейчас, но форма графика «даром» прояснится на более поздних этапах.

Зачем столько слов? Чтобы контролировать последующие пункты исследования и не допустить ошибок! Дальнейшие выкладки не должны противоречить сделанным выводам.

3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства функции.

График функции не пересекает ось .

С осью

Методом интервалов определим знаки :

, если ;
, если .

Результаты пункта полностью соответствуют Выводу №1. После каждого этапа смотрите на черновик, мысленно сверяйтесь с исследованием и дорисовывайте график функции.

4) Возрастание, убывание, экстремумы функции.

В рассматриваемом примере числитель почленно делится на знаменатель, что очень выгодно для дифференцирования:

Собственно, это уже проделывалось при нахождении асимптот.


– критическая точка.

Определим знаки :

возрастает на и убывает на

В точке функция достигает минимума: .

Разночтений с Выводом №2 также не обнаружилось, и, вероятнее всего, мы на правильном пути.

5) Выпуклость, вогнутость, перегибы графика.

, значит, график функции является вогнутым на всей области определения.

Отлично – и чертить ничего не надо.

Точки перегиба отсутствуют.

Вогнутость согласуется с Выводом №3, более того, указывает, что на бесконечности (и там и там) график функции расположен выше своей наклонной асимптоты.

6) Добросовестно приколотим задание дополнительными точками. Вот здесь придётся изрядно потрудиться, поскольку из исследования нам известны только две точки.

И картинка, которую, наверное, многие давно представили:


В ходе выполнения задания нужно тщательно следить за тем, чтобы не возникало противоречий между этапами исследования, но иногда ситуация бывает экстренной или даже отчаянно-тупиковой. Вот «не сходится» аналитика – и всё тут. В этом случае рекомендую аварийный приём: находим как можно больше точек, принадлежащих графику (сколько хватит терпения), и отмечаем их на координатной плоскости. Графический анализ найденных значений в большинстве случаев подскажет, где правда, а где ложь. Кроме того, график можно предварительно построить с помощью какой-нибудь программы, например, в том же Экселе (понятно, для этого нужны навыки).

Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и построить её график.

Это пример для самостоятельного решения. В нём самоконтроль усиливается чётностью функции – график симметричен относительно оси , и если в вашем исследовании что-то противоречит данному факту, ищите ошибку.

Чётную или нечётную функцию можно исследовать только при , а потом пользоваться симметрией графика. Такое решение оптимально, однако выглядит, по моему мнению, весьма непривычно. Лично я рассматриваю всю числовую ось, но дополнительные точки нахожу всё же лишь справа:

Провести полное исследование функции и построить её график.

Решение: понеслась нелёгкая:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой: .

, значит, данная функция является нечетной, её график симметричен относительно начала координат.

Так как функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют

Для функции, содержащей экспоненту, типично раздельное исследование «плюс» и «минус бесконечности», однако нашу жизнь облегчает как раз симметрия графика – либо и слева и справа есть асимптота, либо её нет. Поэтому оба бесконечных предела можно оформить под единой записью. В ходе решения используем правило Лопиталя:

Прямая (ось ) является горизонтальной асимптотой графика при .

Обратите внимание, как я хитро избежал полного алгоритма нахождения наклонной асимптоты: предел вполне легален и проясняет поведение функции на бесконечности, а горизонтальная асимптота обнаружилась «как бы заодно».

Из непрерывности на и существования горизонтальной асимптоты следует тот факт, что функция ограничена сверху и ограничена снизу.

3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства.

Здесь тоже сокращаем решение:
График проходит через начало координат.

Других точек пересечения с координатными осями нет. Более того, интервалы знакопостоянства очевидны, и ось можно не чертить: , а значит, знак функции зависит только от «икса»:
, если ;
, если .

! Настоятельно рекомендую оформлять черновой шаблон графика
по ходу исследования!

4) Возрастание, убывание, экстремумы функции.

– критические точки.

Точки симметричны относительно нуля, как оно и должно быть.

Определим знаки производной:

Функция возрастает на интервале и убывает на интервалах

В точке функция достигает максимума: .

В силу свойства (нечётности функции) минимум можно не вычислять:

Поскольку функция убывает на интервале , то, очевидно, на «минус бесконечности» график расположен под своей асимптотой. На интервале функция тоже убывает, но здесь всё наоборот – после перехода через точку максимума линия приближается к оси уже сверху.

Из вышесказанного также следует, что график функции является выпуклым на «минус бесконечности» и вогнутым на «плюс бесконечности».

После этого пункта исследования прорисовалась и область значений функции:

Если у вас возникло недопонимание каких-либо моментов, ещё раз призываю начертить в тетради координатные оси и с карандашом в руках заново проанализировать каждый вывод задания.

5) Выпуклость, вогнутость, перегибы графика.

– критические точки.

Симметрия точек сохраняется, и, скорее всего, мы не ошибаемся.

Определим знаки :

График функции является выпуклым на и вогнутым на .

Выпуклость/вогнутость на крайних интервалах подтвердилась.

Во всех критических точках существуют перегибы графика. Найдём ординаты точек перегиба, при этом снова сократим количество вычислений, используя нечётность функции:

6) Дополнительные точки целесообразно рассчитать только для правой полуплоскости:

Выполним чертёж:

Такой вот симпатяга….

Изначально было запланировано 5 примеров, и если честно, я ожидал, что статья получится заметно больше по объему. Конечно, хочется исследовать ещё одну функцию, но с другой стороны – нельзя объять необъятное, поэтому сегодня воздержимся от логарифмов. Самое важное – усвоить методы, приёмы и хитрости исследования, которые мы только что разобрали.

Желающие могут пройти на страницу готовых задач по высшей математике и закачать архив, который содержит 69 исследований. Выбирайте любую функцию и тренируйтесь! А кто знает…, может встретите ту единственную, которую так давно искали =)

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: проведём исследование функции:
1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, .

, значит, данная функция не является четной или нечетной.
Функция непериодическая.

2) Асимптоты графика, поведение функции на бесконечности.
Так как функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют.
, значит, наклонные асимптоты также отсутствуют.
, функция не ограничена снизу.

3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства функции.
График проходит через начало координат.
С осью

Определим знаки :

, если ,
, если .

4) Возрастание, убывание, экстремумы функции.

– критические точки.
Определим знаки :

возрастает на и убывает на .
В точке функция достигает максимума:

5) Выпуклость, вогнутость, перегибы графика.

– критические точки.
Определим знаки :

График функции является выпуклым на и вогнутым на .
В обеих критических точках существуют перегибы графика.

6) Найдем дополнительные точки:

Выполним чертёж:

Пример 4: Решение: проведем исследование функции:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, .

, значит, данная функция является четной, ее график симметричен относительно оси ординат.
Очевидно, что функция непериодическая.

2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности.
Так как функция непрерывна на всей числовой прямой, то вертикальные асимптоты отсутствуют.

Прямая является горизонтальной асимптотой для графика при .

3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства функции.
График функции проходит через начало координат.
на всей области определения.

4) Возрастание, убывание, экстремумы функции.

– критическая точка.
Определим знаки :

возрастает на и убывает на .
В точке функция достигает минимума: .

5) Выпуклость, вогнутость, перегибы графика.

– критические точки.
Определим знаки :

График является выпуклым на и вогнутым на .
В обеих критических точках существуют перегибы графика: .

6) Найдем дополнительные точки и выполним чертёж:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com

mathprofi.ru

Смотрите так же:

  • Продажа доли имущества несовершеннолетнего Ребенок-собственник: если опека не разрешает… По закону дети от 14 до 18 лет могут совершать сделки только с согласия своих законных представителей (родителей), а дети до 14 лет вообще не могут совершать сделки сами – за них действуют […]
  • Правила дифференцирования с примерами Правила дифференцирования с примерами На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования. Примеры. Найти производные функций. 1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Применяем правило I, формулы 4, 2 и 1. […]
  • Кто не имеет право работать педагогом Судимость и работа с детьми Анна Мазухина, Эксперт Службы Правового консалтинга компании "Гарант" Вот уже полтора года доступ к работе с несовершеннолетними для тех, у кого были проблемы с законом, значительно ограничен 1 . Чтобы узнать, […]
  • Назначение льготных пенсий медработникам Льготная пенсия медработникам в 2018 году Федеральное законодательство Российской Федерации предусматривает социальные льготные пенсии для работников медицинских учреждений. Эта пенсия не является какой-то дополнительной выплатой, а […]
  • Правило правой руки для ленца ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ М. Фарадей - 1831 г. Способы получения индукционного тока . 1. перемещение магнита и катушки относительно друг друга; 2. перемещение одной катушки относительно другой; 3. изменение силы тока в одной из катушек; […]
  • Пенсии инвалидам детства 3 группы в 2018 году Пенсия инвалидам 3 группы – кому положена, особенности начисления и размер В жизни каждого человека могут произойти ситуации, при которых нанесено вред здоровью. Некоторым удается вылечить себя, а некоторым единственным выходом из […]