Все правила о вписанном угле

Окружность. Центральный и вписанный угол

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

На рисунке — центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.


Итак, величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается.
Значит, центральный угол величиной в градусов будет опираться на дугу, равную , то есть круга. Центральный угол, равный , опирается на дугу в градусов, то есть на шестую часть круга.

Величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

Также для решения задач нам понадобится понятие «хорда».


Равные центральные углы опираются на равные хорды.

1 . Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

2 . Центральный угол на больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Пусть центральный угол равен , а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен .

Мы знаем, что .
Отсюда ,
.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

3 . Радиус окружности равен . Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.

Пусть хорда равна . Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим .
В треугольнике стороны и равны , сторона равна . Нам уже встречались такие треугольники. Очевидно, что треугольник — прямоугольный и равнобедренный, то есть угол равен .
Тогда дуга равна , а дуга равна .
Вписанный угол опирается на дугу и равен половине угловой величины этой дуги, то есть .

4 . Хорда делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как . Под каким углом видна эта хорда из точки , принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Главное в этой задаче — правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки ?»
Представьте, что вы сидите в точке и вам необходимо видеть всё, что происходит на хорде . Так, как будто хорда — это экран в кинотеатре 🙂
Очевидно, что найти нужно угол .
Сумма двух дуг, на которые хорда делит окружность, равна , то есть

Отсюда , и тогда вписанный угол опирается на дугу, равную .
Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, значит, угол равен .

ege-study.ru

Теорема о вписанном угле

Описание разработки

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность называется вписанным углом.

Вписанный угол измеряется половинной дуги, на которую он опирается.

Следствие 1: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны

Следствие 2: Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой

Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Содержимое разработки

Определение вписанного угла

  • Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность называется вписанным углом.
  • Теорема о вписанном угле

  • Вписанный угол измеряется половинной дуги, на которую он опирается.
  • Следствие 1: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны
  • Следствия из теоремы о вписанном угле

    • Следствие 2: Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой
    • Решение задач на готовых чертежах

      • Вывод: Если центральный и вписанный угол опираются на одну и туже дугу, то вписанный угол измеряется половиной центрального угла.
      • Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

        videouroki.net

        Этот видеоурок доступен по абонементу

        У вас уже есть абонемент? Войти

        На этом уроке мы докажем важную теорему о вписанном угле и рассмотрим следствия из этой теоремы.

        Тема: Окружность

        Урок: Теорема о вписанном угле

        1. Основные определения, определение вписанного угла

        Напомним некоторые определения

        Определение:

        Окружностью с центром в точке О и радиусом R называют множество всех точек плоскости, удаленных от точки О на расстояние R (см. Рис. 1).

        Часть окружности называется дугой.

        Дуга имеет угловое измерение.

        Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла :

        Определение

        Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным.

        Задана окружность с центром О, вершина А лежит на окружности, стороны АВ и АС угла пересекают окружность в точках В и С, угол называется вписанным. Он опирается на дугу , эта дуга расположена внутри угла (см. Рис. 3).

        2. Теорема о вписанном угле

        Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (см. Рис. 4).

        Рассмотрим несколько случаев.

        Случай 1: точка О принадлежит лучу АС (см. Рис. 5).

        Обозначим угол через , тогда угол также будет равен , так как треугольник равнобедренный, его стороны ОВ и ОА равны как радиусы окружности. Угол является внешним для треугольника , внешний угол равен сумме двух других углов, не смежных с ним, получаем: , то есть угловое измерение дуги есть . Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине измерения дуги, на которую он опирается.

        Случай 2: точка О лежит внутри вписанного угла (см. Рис. 6).

        Доказать, что

        Доказательство сводится к предыдущему случаю. Проведем диаметр AD, обозначим угол за и тогда дуга равна (объяснение см. случай 1). Угол за , тогда дуга равна (объяснение см. случай 1). Вся дуга равна:

        Угол в свою очередь, равен .

        Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

        Случай 3: точка О находится вне вписанного угла (см. Рис. 7).

        Доказать, что

        Доказательство снова сводится к первому случаю. Проведем диаметр AD, обозначим угол через , тогда дуга (объяснение см. случай 1). Угол обозначим через , тогда дуга равна (объяснение см. случай 1). Дуга является разностью большой дуги и дуги :

        Вписанный угол равен . Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

        Итак, теорема полностью доказана, все случаи рассмотрены. И теперь из этого вытекают важные следствия.

        3. Следствия теоремы о вписанном угле

        Следствие 1:

        Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой (см. Рис. 8).

        Угол равен , он вписанный и опирается на дугу , значит, дуга равна . Но на эту же дугу опираются много других углов, например, углы и , данные углы измеряются половиной градусной меры дуги, значит, они равны , как и угол .

        Таким образом, получаем:

        Следствие 2

        Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые (см. Рис. 9).

        Теорема о вписанном угле является ключом к доказательству многих других теорем и к решению многих задач.

        4. Теорема о хордах

        Произведение отрезков каждой из двух пересекающихся хорд есть величина постоянная.

        Доказать, что

        Рассмотрим треугольники и (см. Рис. 10). Данные треугольники подобны по равенству двух углов: равны вертикальные углы и ; вписанные углы и опираются на одну и ту же дугу . Выпишем соотношение подобия:

        Применим свойство пропорции и преобразуем выражение:

        , что и требовалось доказать.

        5. Выводы по уроку

        Итак, мы рассмотрели понятие вписанного угла и теорему о вписанном угле. В следующем уроке мы рассмотрим свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку.

        Список литературы

      • Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
      • Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
      • Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
      • Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

        Домашнее задание

        1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др., Геометрия 7-9, № 653, № 655, № 656, ст. 173.

        Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

        interneturok.ru

        Вписанный угол, теория и задачи

        Вписанный угол, теория задачи. Друзья! В этой статье речь пойдёт о заданиях, для решения которых необходимо знать свойства вписанного угла. Это целая группа задач, они включены в ЕГЭ. Большинство из них решаются очень просто, в одно действие.

        Есть задачи посложнее, но и они большой трудности для вас не представят, необходимо знать свойства вписанного угла. Постепенно мы разберём все прототипы задач, приглашаю вас на блог!

        Теперь необходимая теория. Вспомним, что такое центральный и вписанный угол, хорда, дуга, на которые опираются эти углы:

        Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре .

        Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности.

        Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

        Угол, называется вписанным в окружность, если вершина угла лежит на окружности, а стороны угла пересекают эту окружность.

        Отрезок соединяющий две точки окружности называется хордой . Самая большая хорда проходит через центр окружности и называется диаметр.

        Для решения задач на вписанные в окружность углы, вам необходимо знать следующие свойства:

        1. Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.

        2. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

        3. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны.

        4. Любая пара углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°.

        Следствие: противолежащие углы четырёхугольника вписанного в окружность в сумме составляют 180 градусов.

        5. Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые.

        Вообще, это свойство является следствием из свойства (1), это его частный случай. Посмотрите – центральный угол равен 180 градусам (и этот развёрнутый угол есть не что иное, как диаметр), значит по первому свойству вписанный угол С равен его половине, то есть 90 градусам.

        Знание данного свойства помогает в решении многих задач и часто позволяет избежать лишних расчётов. Хорошо усвоив его — вы более половины задач такого типа сможете решать устно. Два следствие, которые можно сделать:

        Следствие 1: если в окружность вписан треугольник и одна его сторона совпадает с диаметром этой окружности, то треугольник является прямоугольным (вершина прямого угла лежит на окружности).

        Следствие 2: центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой его гипотенузы.

        Многие прототипы стереометрических задач также решаются благодаря использованию этого свойства и данных следствий. Запомните сам факт: если диаметр окружности является стороной вписанного треугольника, то этот треугольник прямоугольный (угол лежащий против диаметра равен 90 градусов). Все остальные выводы и следствия вы сможете сделать сами, учить их не надо.

        Как правило, половина задач на вписанный угол даётся с эскизом, но без обозначений. Для понимания процесса рассуждения при решении задач (ниже в статье) введены обозначения вершин (углов). На ЕГЭ вы можете этого не делать. Рассмотрим задачи:

        Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

        Построим центральный угол для заданного вписанного угла, обозначим вершины:

        По свойству вписанного в окружность угла:

        Угол АОВ равен 60 0 , так как треугольник АОВ равносторонний, а в равностороннем треугольнике все углы равны по 60 0 . Стороны треугольника равны, так как в условии сказано, что хорда равна радиусу.

        Таким образом, вписанный угол АСВ равен 30 0 .

        Найдите хорду, на которую опирается угол 30 0 , вписанный в окружность радиуса 3.

        Это по сути обратная задача (предыдущей). Построим центральный угол.

        Он в два раза больше вписанного, то есть угол АОВ равен 60 0 . От сюда можно сделать вывод, что треугольник АОВ равносторонний. Таким образом, хорда равна радиусу, то есть трём.

        Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную корню из двух. Ответ дайте в градусах.

        Построим центральный угол:

        Зная радиус и хорду мы можем найти центральный угол АСВ. Это можно сделать по теореме косинусов. Зная центральный угол мы без труда найдём вписанный угол АСВ.

        Теорема косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

        Следовательно, второй центральный угол равен 360 0 – 90 0 = 270 0 .

        Угол АСВ по свойству вписанного угла равен его половине, то есть 135 градусам.

        Найдите хорду, на которую опирается угол 120 градусов, вписанный в окружность радиуса корень из трёх.

        Соединим точки А и В с центром окружности. Обозначим её как О:

        Нам известен радиус и вписанный угол АСВ. Мы можем найти центральный угол АОВ (больший 180 градусов), затем найти угол АОВ в треугольнике АОВ. А далее по теореме косинусов вычислить АВ.

        По свойству вписанного угла центральный угол АОВ (который больше 180 градусов) будет равен вдвое больше вписанного, то есть 240 градусам. Значит, угол АОВ в треугольнике АОВ равен 360 0 – 240 0 = 120 0 .

        По теореме косинусов:

        Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 20% окружности. Ответ дайте в градусах.

        По свойству вписанного угла он вдвое меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу, в данном случае речь идёт о дуге АВ.

        Сказано, дуга АВ составляет 20 процентов от окружности. Это означает, что центральный угол АОВ составляет так же 20 процентов от 360 0 . *Окружность это угол в 360 градусов. Значит,

        Таким образом, вписанный угол АСВ равен 36 градусам.

        Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет 200 градусов. А дуга окружности BC, не содержащая точки A, составляет 80 градусов. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

        Обозначим для наглядности дуги, угловые меры которых даны. Дуга соответствующая 200 градусам – синий цвет, дуга соответствующая 80 градусам – красный цвет, оставшаяся часть окружности – жёлтый цвет.

        Таким образом, градусная мера дуги АВ (жёлтый цвет), а значит и центральный угол АОВ составляет: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

        Вписанный угол АСВ вдвое меньше центрального угла АОВ,то есть равен 40 градусам.

        Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

        Найдите хорду, на которую опирается угол 90 0 , вписанный в окружность радиуса 1.

        Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

        Радиус окружности равен 1. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную корню из двух. Ответ дайте в градусах.

        Центральный угол на 36 0 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

        Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу АВ, которая составляет 0,2 окружности. Ответ дайте в градусах.

        Хорда делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

        Точки А, В, С, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1:3:5. Найдите больший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.

        На что обратить внимание при решении подобных задач?

        Необходимо знать свойство вписанного угла; понимать, когда и как необходимо использовать теорему косинусов, подробнее о ней посмотрите здесь .

        На этом всё! Успехов Вам!

        С уважением, Александр Крутицких

        Учительница математики в школе в третьем классе:
        — Дети, а скажите мне, сколько будет 6*6?
        Дети дружно хором отвечают:
        — Семьдесят шесть!
        — Ну, что вы, такое говорите детки! Шесть на шесть будет тридцать шесть… ну может быть еще 37, 38, 39… ну максимум 40… но никак не семьдесят шесть!

        matematikalegko.ru

    Смотрите так же:

    • Кто не имеет право работать педагогом Судимость и работа с детьми Анна Мазухина, Эксперт Службы Правового консалтинга компании "Гарант" Вот уже полтора года доступ к работе с несовершеннолетними для тех, у кого были проблемы с законом, значительно ограничен 1 . Чтобы узнать, […]
    • Услуги нотариуса днепропетровск Услуги нотариуса днепропетровск Частный нотариус Днепропетровского городского нотариального округа Виноградова Владислава Юрьевна Свидетельство о праве на занятие нотариальной деятельностью №8660 Регистрационное удостоверение […]
    • Получить справку о судимости в екатеринбурге Получение справки об отсутствии (наличии) судимости Заявление на предоставление государственной услуги по выдаче справок о наличии (отсутствии) судимости и (или) факта уголовного преследования либо о прекращении уголовного преследования […]
    • Федеральный государственный реестр си Утверждение типа средств измерений - (Метрологический сертификат) Свидетельство об утверждении типа средств измерений, известное также как метрологический сертификат или сертификат на КИПиА – документ, выдаваемый Федеральным агентством по […]
    • Закон рф ст 27-31 Закон рф ст 27-31 Споры о защите прав потребителей - одни из самых распространенных и актуальных В спорах о защите прав потребителей, одной из сторон всегда выступает гражданин, приобретающий, заказывающий товары (работы, услуги) для […]
    • Сумма госпошлины по исковому заявлению Расчет и оплата госпошлины в суд общей юрисдикции (районный, мировой) Госпошлина в суд общей юрисдикции включается законодателем в сумму судебных расходов, связанных с рассмотрением дела. Данная статья поможет правильно рассчитать размер […]