Закон больцмана распределения молекул по энергиям

Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил в условиях теплового равновесия. При этом концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия. Так, число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности Земли, и давление, в силу соотношения P = nkT, падает.

Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот. Давление и плотность пропорциональны друг другу, поскольку температура в нашем случае постоянна. Давление с уменьшением высоты должно возрастать, потому что нижнему слою приходится выдерживать вес всех расположенных сверху атомов.

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT, заменим P и P0 в барометрической формуле (2.4.1) на n и n0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:

Так как а , то (2.5.1) можно представить в виде

На рисунке 2.11 показана зависимость концентрации различных газов от высоты. Видно, что число более тяжелых молекул с высотой убывает быстрее, чем легких.

Больцман доказал, что соотношение (2.5.3) справедливо не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

ens.tpu.ru

Справочник химика 21

Химия и химическая технология

Закон распределения молекул по энергиям (закон Больцмана)

На основе теории вероятностей можно вывести законы распределения молекул по энергиям (закон Больцмана) и скоростям (закон Максвелла). В соответствии с законом Больцмана для любой системы, находящейся в равновесии и подчиняющейся законам классической механики, число Л г молекул, обладающих энергией е/, определяется формулой [c.12]

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МОЛЕКУЛ ПО ЭНЕРГИЯМ (ЗАКОН БОЛЬЦМАНА) [c.83]

Закон распределения молекул по энергиям (закон Больцмана] [c.193]

В основе этих методов лежит закон распределения молекул по энергиям — закон Больцмана. Для вывода этого закона представим, что изучаемая газообразная система состоит из очень большого числа N молекул. Она обладает заданной полной (внутренней) энергией и [c.216]

В основе этих методов и лежит упомянутый выше закон распределения молекул по -энергиям — закон Больцмана. К выводу этого закона мы и переходим. [c.84]

Как формулируется закон распределения молекул по энергиям (закон Больцмана) Какова особенность уравнения Больцмана, если энергия выражается двумя квадратичными членами [c.79]

В основе этих методов лежит закон распределения молекул по энергиям — закон Больцмана. Для вывода этого закона представим, что изучаемая газообразная система состоит из очень большого числа N молекул. Она обладает заданной полной (внутренней) энергией U и занимает постоянный объем о. Таким образом, с термодинамической точки зрения система изолирована U = onst, v = onst). [c.194]

chem21.info

11.2 Закон распределения молекул идеального газа во внешнем силовом поле

При рассмотрении кинетической теории газов и закона распределения Максвелла предполагалось, что на молекулы газа не действуют никакие силы, за исключением ударов молекул. Поэтому, молекулы равномерно распределяются по всему сосуду. В действительности молекулы любого газа всегда находятся в поле тяготения Земли. Вследствие этого, каждая молекула массой m испытывает действие силы тяжести f =mg.

Выделим горизонтальный элемент объема газа высотой dh и площадью основания S (рис. 11.2). Считаем газ однородным и температуру его постоянной. Число молекул в этом объеме равно произведению его объема dV=Sdh на число молекул в единице объема. Полный вес молекул в выделенном элементе равен

Действие веса dF вызывает давление, равное

минус — т.к. при увеличении dh давление уменьшается. Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории

Приравнивая правые части (11.2) и (11.3), получаем


или

Интегрируя это выражение в пределах от до h (соответственно концентрация изменяется от до n):


получим

Потенцируя полученное выражение, находим

Показатель степени при exp имеет множитель , который определяет приращение потенциальной энергии молекул газа. Если переместить молекулу с уровня до уровня h, то изменение ее потенциальной энергии будет

Тогда уравнение для концентрации молекул преобразуется к виду

Это уравнение отображает общий закон Больцмана и дает распределение числа частиц в зависимости от их потенциальной энергии. Он применим к любой системе частиц, находящихся в силовом поле, например в электрическом.

physics-lectures.ru

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

БОЛЬЦМАН (Boltzmann) Людвиг (1844-1906), австрийский физик, один из основателей статистической физики и физической кинетики, иностранный член-корреспондент Петербургской АН (1899). Вывел функцию распределения, названную его именем, и основное кинетическое уравнение газов. Дал (1872) статистическое обоснование второго начала термодинамики. Вывел один из законов теплового излучения (закон Стефана — Больцмана).

Из-за хаотического движения изменения в положении каждой частицы (молекулы, атома и т.д.) физической системы (макроскопического тела) носят характер случайного процесса. Поэтому можно говорить о вероятности обнаружить частицу в той или иной области пространства.

Из кинематики известно, что положение частицы в пространстве характеризуется ее радиусом-вектором или координатами.

Рассмотрим вероятность dW( ) обнаружить частицу в области пространства определяемой малым интервалом значений радиуса-вектора , если физическая система находится в состоянии термодинамического равновесия.

Векторный интервал будем измерять объемом dV=dxdydz.

Плотность вероятности (функция вероятности распределения значений радиуса-вектора )

.

Частица в данный момент времени реально где-то находится в указанном пространстве, значит должно выполняться условие нормировки:

.

Найдем функцию вероятности распределения частиц f( ) классического идеального газа. Газ занимает весь объем V и находится в состоянии термодинамического равновесия с температурой Т.

При отсутствии внешнего силового поля все положения каждой частицы равновероятны, т.е. газ занимает весь объем с одинаковой плотностью. Поэтому f( ) = c onst.

Используя условие нормировки найдем, что

,

Если число частиц газа N, то концентрация n = N/V .

Следовательно, f(r ) =n/N .

Вывод : в отсутствие внешнего силового поля вероятность dW( ) обнаружить частицу идеального газа в объеме dV не зависит от положения этого объема в пространстве, т.е. .

Поместим идеальный газ во внешнее силовое поле.

В результате пространственного перераспределения частиц газа плотность вероятности f( ) ¹ c onst.

Концентрация частиц газа n и давление его Р будут различными, т.е. в пределе где D N — среднее число частиц в объеме D V и давление в пределе , где D F- абсолютное значение средней силы, действующей нормально на площадку D S.

Если силы внешнего поля являются потенциальными и действуют в одном направлении (например, сила тяжести Земли направлена вдоль оси z), то силы давления, действующие на верхнее dS2 и нижнее dS1 основания объема dV, не будут равны друг другу (рис. 2.2).

В этом случае разность сил давления dF на основания dS1 и dS2 должна быть скомпенсирована действием сил внешнего поля .

Суммарная разность сил давления dF = nGdV,

где G — сила, действующая на одну частицу со стороны внешнего поля.

Разность сил давления (по определению давления) dF = dPdxdy. Следовательно, dP = nGdz.

Из механики известно, что потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле связана с силой этого поля соотношением .

Тогда разность давлений на верхнее и нижнее основания выделенного объема dP = — n dWp.

В состоянии термодинамического равновесия физической системы ее температура Т в пределах объема dV везде одинакова. Поэтому используем уравнение состояния идеального газа для давления dP = kTdn.

Решив совместно последние два равенства получим, что

— ndWp = kTdn или .

После преобразований найдем, что

,

где ℓ n no — постоянная интегрирования (no — концентрации частиц в том месте пространства, где Wp=0).

После потенцирования, получим

.

Вывод: в состоянии термодинамического равновесия концентрация (плотность) частиц идеального газа, находящегося во внешнем силовом поле, изменяется по закону, определяемому формулой (2.11), которую называют распределением Больцмана.

С учетом (2.11) функция вероятности распределения молекул в поле силы тяжести принимает вид

.

Вероятность обнаружить частицу идеального газа в объеме dV, расположенного у точки, определяемой радиусом-вектором , представим в виде

.

Для идеального газа давление отличается от концентрации только постоянным множителем kT (P=nkT).

Следовательно, для таких газов давление

,

Применим распределение Больцмана к атмосферному воздуху, находящему в поле тяготения Земли.

В состав атмосферы Земли входят газы: азот — 78,1 %; кислород — 21 %; аргон-0,9 %. Масса атмосферы -5,15 × 10 18 кг. На высоте 20-25 км — слой озона.

Вблизи земной поверхности потенциальная энергия частиц воздуха на высоте h Wp= mogh , где m o — масса частицы.

Потенциальная энергия на уровне Земли (h=0) равна нулю (Wp=0).

Если в состоянии термодинамического равновесия частицы земной атмосферы имеют температуру Т, то изменение давления атмосферного воздуха с высотой происходит по закону

.

Формула (2.15) называется барометрической формулой; применима для разреженных смесей газов.

Заключение : для земной атмосферы чем тяжелее газ, тем быстрее падает его давление в зависимости от высоты, т.е. по мере увеличения высоты атмосфера должна все более обогащаться легкими газами. Из-за изменения температуры атмосфера не находится в равновесном состоянии. Следовательно, барометрическую формулу можно применять к малым участкам, в пределах которых изменения температуры не происходит. Кроме того, на неравновесность земной атмосферы влияет гравитационное поле Земли, которое не может удержать ее вблизи поверхности планеты. Происходит рассеивание атмосферы и тем быстрее, чем слабее гравитационное поле. Например, земная атмосфера рассеивается достаточно медленно. За время существования Земли (

4-5 млрд. лет) она потеряла малую часть своей атмосферы (в основном легких газов: водорода, гелия и др.).

Гравитационное поле Луны слабее земного, поэтому она практически полностью потеряла свою атмосферу.

Неравновесность земной атмосферы можно доказать следующим образом. Допустим, что атмосфера Земли пришла в состояние термодинамического равновесия и в любой точке ее пространства она имеет постоянную температуру. Применим формулу Больцмана (2.11), в которой роль потенциальной энергии выполняет потенциальная энергия гравитационного поля Земли, т.е.

где g — гравитационная постоянная; Мз — масса Земли; m o — масса частицы воздуха; r — расстояние частицы от центра Земли.

При r ® ¥ Wp=0. Поэтому распределение Больцмана (2.11) принимает вид

,

files.lib.sfu-kras.ru

Закон больцмана распределения молекул по энергиям

Это распределение по энергиям частиц (атомов, молекул) идеального газа в условиях термодинамического равновесия . Распределение Больцмана было открыто в 1868 — 1871 гг. австралийским физиком Л. Больцманом. Согласно распределению, число частиц ni с полной энергией Ei равно:

где ωi — статистический вес (число возможных состояний частицы с энергией ei). Постоянная А находится из условия, что сумма ni по всем возможным значениям i равна заданному полному числу частиц N в системе (условие нормировки):

В случае, когда движение частиц подчиняется классической механике, энергию Ei можно считать состоящей из кинетической энергии Eiкин частицы (молекулы или атома), её внутренней энергии Eiвн (напр., энергии возбуждения электронов) и потенциальной энергии Ei,пот во внешнем поле, зависящей от положения частицы в пространстве:

Распределение частиц по скоростям является частным случаем распределения Больцмана. Оно имеет место, когда можно пренебречь внутренней энергией возбуждения

Ei,вн и влиянием внешних полей Ei,пот. В соответствии с (2) формулу (1) можно представить в виде произведения трёх экспонент, каждая из которых даёт распределение частиц по одному виду энергии.

В постоянном поле тяжести, создающем ускорение g, для частиц атмосферных газов вблизи поверхности Земли (или др. планет) потенциальная энергия пропорциональна их массе m и высоте H над поверхностью, т.е. Ei, пот = mgH. После подстановки этого значения в распределение Больцмана и суммирования по всевозможным значениям кинетической и внутренней энергий частиц получается барометрическая формула , выражающая закон уменьшения плотности атмосферы с высотой.

В астрофизике, особенно в теории звёздных спектров, распределение Больцмана часто используется для определения относительной заселённости электронами различных уровней энергии атомов. Если обозначить индексами 1 и 2 два энергетических состояния атома, то из распределения следует:

Разность энергий E2-E1 для двух нижних уровней энергии атома водорода >10 эВ, а значение kT, характеризующее энергию теплового движения частиц для атмосфер звёзд типа Солнца, составляет всего лишь 0,3-1 эВ. Поэтому водород в таких звёздных атмосферах находится в невозбуждённом состоянии. Так, в атмосферах звёзд, имеющих эффективную температуру Тэ > 5700 К (Солнце и др. звёзды), отношение чисел атомов водорода во втором и основном состояниях равно 4,2•10 -9 .

Распределение Больцмана было получено в рамках классической статистики. В 1924-26 гг. была создана квантовая статистика. Она привела к открытию распределений Бозе — Эйнштейна (для частиц с целым спином ) и Ферми — Дирака (для частиц с полуцелым спином). Оба эти распределения переходят в распределение, когда среднее число доступных для системы квантовых состояний значительно превышает число частиц в системе, т. о. когда на одну частицу приходится много квантовых состояний или, др. словами, когда степень заполнения квантовых состояний мала. Условие применимости распределении Больцмана можно записать в виде неравенства:

где N — число частиц, V — объём системы. Это неравенство выполняется при высокой темп-ре и малом числе частиц в ед. объёма (N/V). Из этого следует, что чем больше масса частиц, тем для более широкого интервала изменений Т и N/V справедливо распределение Больцмана..

physics.kgsu.ru

Смотрите так же:

  • Планшет разрешение 2048×1536 Планшеты с разрешением экрана 2048x1536 - цены Разрешение - величина, определяющая количество точек на единицу площади. Разрешением экрана обычно называют максимальное количество точек (каждая из которых может содержать один или несколько […]
  • Опека в г Оренбурге Органы опеки Органы опеки и попечительства Отдел опеки и попечительства министерства здравоохранения и социального развития Оренбургской области Начальник отдела опеки и попечительства - Мединский Евгений Викторович Телефон: (3532) […]
  • Решение суда исполнение через Исполнение решения суда Обращение в суд подразумевает не только разрешение спора между сторонами, но и исполнение решения суда. Реальность же исполнения зависит и от сути дела, и от должника, и от действий сторон на стадии исполнительного […]
  • Разрешение 920p 1/3-дюймовая всепогодная аналоговая камера «день/ночь» Merit Li-Lin ES 920P обеспечивает видеонаблюдение с разрешением 420 ТВЛ. Конструкция камеры включает встроенный объектив с фокусным расстоянием 3,6 мм и ИК-подсветку, прочный […]
  • Проверка сайта в реестре Реестр запрещённых сайтов Единый реестр запрещенных доменных имен, указателей страниц сайтов в сети «Интернет» и IP-адресов, позволяющих идентифицировать сайты в сети «Интернет», содержащие информацию, распространение которой в Российской […]
  • Закон о персональных данных что делать Инструкция: как уберечь компанию от штрафов по закону о персональных данных Рекомендации от юриста, основателя сервиса по защите интернет-бизнеса E-docs Анара Костенко. Роскомнадзор продолжает свою деятельность по «спасению» интернета, и […]