Правило вычетания

Вычитание целых чисел, правила, примеры.

Навигация по странице.

Термины и обозначения

Для описания вычитания целых чисел мы будем использовать все термины и обозначения, которыми мы пользовались при описании вычитания натуральных чисел.

Выражения вида a−b также будем называть разностью, как и значение этого выражения.

Правило вычитания целых чисел

Осталось рассмотреть применение правила вычитания целых чисел при решении примеров.

Вычитание целого положительного числа, примеры

Чтобы выполнить требуемое действие нужно к уменьшаемому −100 прибавить число −50 , которое противоположно вычитаемому 50 , — этого требует правило вычитания целых чисел. Нахождение суммы целых отрицательных чисел −100 и −50 не должно вызвать затруднений: −100+(−50)=−150 . Следовательно, искомая разность равна −150 .

Правило вычитания целых чисел позволяет получить важный результат, касающийся вычитания нуля из данного целого числа – вычитание нуля из любого целого числа не изменяет это число, то есть, a−0=a , где a – произвольное целое число.

Вычислите разность −5−(−45) .

Отдельно хочется сказать о вычитании равных целых чисел. Дело в том, что если уменьшаемое и вычитаемое равны, то их разность равна нулю, то есть, a−a=0 , где a – любое целое число.

Целое число, из которого проводится вычитание, будем называть уменьшаемым. Целое число, которое вычитаем, будем называть вычитаемым. Результат вычитания будем называть разностью.

Дальше из смысла вычитания целых чисел будет понятно, что результат вычитания целых чисел представляет собой целое число.

Смысл вычитания целых чисел

Когда мы изучали вычитание натуральных чисел, была установлена связь между сложением и вычитанием, которая позволила нам определить вычитание как нахождение одного из слагаемых по известной сумме и другому слагаемому. Будем считать, что вычитание целых чисел имеет тот же смысл: по заданной сумме и одному из слагаемых находится другое слагаемое (здесь как ни крути нужно знать, что собой представляет сложение целых чисел).

Приведем несколько примеров для конкретики.

Пусть мы знаем, что −4+9=5 , тогда разность 5−9 равна −4 . Еще пример. Допустим нам известно, что сумма двух целых чисел −17 и −3 равна −20 , тогда вычитание из целого числа −20 целого числа −3 в результате дает −17 , а разность −20−(−17) равна −3 .

Приведем формулировку правила вычитания целых чисел, после чего приведем его обоснование.

Все решение можно записать в одну строку: 16−36=16+(−36)=−20 .

Отнимите от целого отрицательного числа −100 целое положительное число 50 .

Вычитание нуля, примеры

Вычитание целого отрицательного числа, примеры

Вычисление разности 0−(−411) по правилу вычитания целых чисел сводится к прибавлению к уменьшаемому 0 числа, противоположного вычитаемому −411 . Так как целому отрицательному числу −411 противоположно число 411 , то 0−(−411)=0+411=411 .

Нам нужно провести вычитание из −5 целого отрицательного числа −45 . Для этого нам нужно вычислить сумму двух чисел: уменьшаемого −5 и числа 45 , противоположного вычитаемому −45 . Имеем −5−(−45)=−5+45=40 .

Поясним последнее утверждение. По правилу вычитания целых чисел a−a=a+(−a)=0 . То есть, вычесть из целого числа равное ему число – это все равно, что прибавить к данному числу, противоположное ему число, что дает нуль.

Приведем пару примеров. Разность равных целых чисел −67 и −67 равна нулю; если из 653 вычесть равное ему число 653 , то мы также получим 0 . Наконец, если от нуля отнять нуль, то мы получим нуль.

Выполним проверку. Для этого к разности прибавим вычитаемое: −47+(−255)=−302 . Так как мы получили число, отличное от уменьшаемого −303 , при вычитании целых чисел где-то была допущена ошибка.

Вычитание отрицательных чисел

Как известно вычитание — это действие, противоположное сложению.

Если « a » и « b » — положительные числа, то вычесть из числа « a » число « b », значит найти такое число « c », которое при сложении « с » числом « b » даёт число « a ».

Определение вычитания сохраняется для всех рациональных чисел. То есть вычитание положительных и отрицательных чисел можно заменить сложением.

Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.

Или по другому можно сказать, что вычитание числа « b » — это тоже самое сложение, но с числом противоположным числу « b ».

Стоит запомнить выражения ниже.

Правила вычитания отрицательных чисел

Как видно из примеров выше вычитание числа « b » — это сложение с числом противоположным числу « b ».

Это правило сохраняется не только при вычитании из бóльшего числа меньшего, но и позволяет из меньшего числа вычесть большее число, то есть всегда можно найти разность двух чисел.

Разность может быть положительным числом, отрицательным числом или числом ноль.

Примеры вычитания отрицательных и положительных чисел.

Удобно запомнить правило знаков, которое позволяет уменьшить количество скобок.

Знак «плюс» не изменяет знака числа, поэтому, если перед скобкой стоит плюс, то знак в скобках не меняется.

Знак «минус» перед скобками меняет знак числа в скобках на противоположный.

Из равенств видно, что если перед и внутри скобок стоят одинаковые знаки, то получаем « + », а если знаки разные, то получаем « − ».

Правило знаков сохраняется и в том случае, если в скобках не одно число, а алгебраическая сумма чисел.

Обратите внимание, если в скобках стоит несколько чисел и перед скобками стоит знак «минус», то должны меняться знаки перед всеми числами в этих скобках.

Чтобы запомнить правило знаков можно составить таблицу определения знаков числа.

math-prosto.ru

Сейчас мы разберемся с тем, как выполняется вычитание целых чисел. Сначала введем термины и обозначения. Далее озвучим смысл вычитания целых чисел, от которого перейдем к правилу, позволяющему сводить вычитание целых чисел к сложению, и рассмотрим примеры использования этого правила при вычитании целого положительного, целого отрицательного числа и нуля. После этого научимся выполнять проверку вычисленной разности, и посмотрим, что собой представляет вычитание целых чисел на координатной прямой.

Для обозначения вычитания будем использовать знак минус, который будем располагать между уменьшаемым и вычитаемым. Уменьшаемое, вычитаемое и полученную разность будем записывать в виде равенства. Например, если при вычитании из целого числа a целого числа b получается число c , то можно записать равенство вида a−b=c . Например, в равенстве вида −5−(−43)=38 целое число −5 является уменьшаемым, целое число −43 – вычитаемым, а 38 – разностью.

Озвученный смысл вычитания целых чисел позволяет нам утверждать, что разность c−b равна a и разность c−a равна b , если сумма a+b равна c , где a , b и c – целые числа.

Смысл вычитания целых чисел, выясненный в предыдущем пункте, не дает нам способа вычисления разности. Действительно, на основании смысла вычитания целых чисел мы лишь можем сказать, что одно из известных слагаемых является результатом вычитания из их суммы другого известного слагаемого. Однако если одно из слагаемых неизвестно, то мы не знаем, чему равна разность между суммой и известным слагаемым. Таким образом, нам необходимо правило, позволяющее вычитать из одного целого числа другое.

Чтобы вычислить разность двух целых чисел, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому, то есть, a−b=a+(−b) , где a и b – целые числа, b и −b – противоположные числа.

Докажем озвученное правило вычитания, то есть докажем, что значение выражения a+(−b) равно разности целых чисел a и b . Для этого, в силу смысла вычитания целых чисел, нужно прибавить к a+(−b) вычитаемое b и убедиться, что получается уменьшаемое a , то есть, нужно проверить справедливость равенства (a+(−b))+b=a . Это нам позволяют сделать свойства сложения целых чисел, на их основании мы можем записать цепочку равенств вида (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a , которая и служит доказательством правила вычитания целых чисел.

Выполните вычитание из числа 16 целого положительного числа 36 .

По правилу, чтобы из данного числа 16 вычесть целое положительное число 36 нужно к уменьшаемому 16 прибавить число −36 , противоположное вычитаемому 36 . То есть, искомая разность равна сумме целых чисел 16 и −36 . Осталось лишь вычислить эту сумму целых чисел с противоположными знаками, она получается равной −20 . Таким образом, результатом вычитания из 16 числа 36 является число −20 .

Кратко нахождение разности указанных целых чисел можно записать так: −100−50=−100+(−50)=−150 .

Согласно правилу вычитания целых чисел, вычитание нуля есть прибавление к уменьшаемому числа, противоположного нулю. А так как нуль является числом, противоположным самому себе, то вычесть нуль – это все равно, что прибавить нуль. Но в силу соответствующего свойства сложения, прибавление нуля к любому целому числу не изменяет это число. Таким образом, a−0=a+(−0)=a+0=a .

Рассмотрим несколько примеров вычитания нуля из различных целых чисел. Разность 45−0 равна 45 . Если из целого отрицательного числа −6 005 вычесть нуль, то получим −6 005 . Если от нуля отнять нуль, то в результате получим нуль.

Отнимите от целого числа 0 целое отрицательное число −411 .

Вычитание равных целых чисел

Проверка результата вычитания целых чисел

Проверка результата вычитания целых чисел проводится при помощи сложения. Чтобы проверить, правильно ли было проведено вычитание целых чисел, нужно к полученной разности прибавить вычитаемое, при этом должно получиться уменьшаемое.

От целого отрицательного числа −303 было отнято целое отрицательное число −255 , и была получена разность −47 . Правильно ли выполнено вычитание?

www.cleverstudents.ru

Правила сложения и вычитания.

1. От перемены мест слагаемых сумма не изменится (коммутативное свойство сложения)

13+25=38, можно записать как: 25+13=38

2. Результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой (ассоциативное свойство сложения).

10+13+3+5=31 можно записать как: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31 и т.д.

3. Единицы складываются с единицами, десятки с десятками и т.д.

34+11=45 (3 десяка плюс еще 1 десяток; 4 единицы плюс 1 единица).

4. Единицы вычитаются из единиц, десятки из десятков и т.д.

53-12=41 (3 единицы минус 2 единицы; 5 десятков минус 1 десяток)

примечание: 10 единиц составляют один десяток. Это надо помнить при вычитании, т.к. если количество единиц у вычитаемого больше, чем у уменьшаемого, то мы можем «занять» один десяток у уменьшаемого.

41-12=29 (Для того чтобы и 1 вычесть 2, мы сначала должны «занять» единицу у десятков, получаем 11-2=9; помним, что у уменьшаемого остается на 1 десяток меньше, следовательно, остается 3 десятка и от него отнимается 1 десяток. Ответ 29).

5. Если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится второе слагаемое.

Это значит, что сложение можно проверить с помощью вычитания.

Для проверки из суммы вычитают одно из слагаемых: 49-7=42 или 49-42=7

Если в результате вычитания вы не получили одно из слагаемых, значит в вашем сложении была допущена ошибка.

6. Если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое.

Это значит, что вычитание можно проверить сложением.

Для проверки к разности прибавим вычитаемое: 19+50=69.

Если в результате описанной выше процедуры вы не получили уменшьшаемое, значит в вашем вычитании была допущена ошибка.

tehtab.ru

Смотрите так же:

  • Сцепленное наследование признаков моргана Закон независимого распределения признаков (третий закон Менделя) нарушается в случае, если гены, определяющие разные признаки, находятся в одной хромосоме. Такие гены обычно наследуются совместно, т. е. наблюдается сцепленное […]
  • Правило действия с отрицательными числами Вычитание отрицательного числа, правило, примеры. В этой статье мы разберем, как выполняется вычитание отрицательных чисел из произвольных чисел. Здесь мы дадим правило вычитания отрицательных чисел, и рассмотрим примеры применения этого […]
  • Страховка медработников Форум на Остановке. Общение гепCников, эскулапов и примкнувших к ним. Страхование медработников от гепатита Страхование медработников от гепатита Страхование медицинских работников на случай их заражения вирусными гепатитами […]
  • Госпошлина как расчитывается Как рассчитывается госпошлина в суд? Как правильно рассчитывается государственная пошлина в суд? Сразу же нужно отметить, что в текущем году размер пошлины в определенной степени увеличился. Если подается жалоба или же не имущественный […]
  • Налог хмао-югра Покатались, и хватит! Югорская власть решилась на отмену нулевой ставки транспортного налога Правительство Югры намерено отменить нулевую ставку транспортного налога на машины мощностью до 150 л.с., введённую в регионе два года назад. […]
  • Обработанные заявления о выдачи визы ПОДАЧА ЗАЯВЛЕНИЯ ПОДАЧА ЗАЯВЛЕНИЯ Сервисно-визовый центр Германии в Москве предлагает услугу по подаче заявления на визу в Премиум зале для всех желающих получить привилегированное обслуживание. Вы можете подать документы без […]