Правила по алгебре функция

Что такое функция, или Функция рядом с нами. 7-й класс

Презентация к уроку

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Самые простые наблюдения подчас приводят к очень важным выводам. Ход истории показал, что выводы из наблюдений за различными процессами сыграли фундаментальную роль в развитии науки и техники.

Тема «Функция» в школьной программе обширна и многогранна в своих приложениях. Эта тема является одной из важнейших для всего курса математики.Она вплотную связана с решением уравнений, неравенств, текстовых задач и др. Мы не думаем, что все выпускники школы в будущем станут математиками, но мы уверены, что будущие абитуриенты высших учебных заведенийдолжны уверенно владеть понятием функциональной зависимости, свободно строить графики функций, находить области определения и т.д. Поэтому так важно сформировать основные понятия,связанные с данной темой у семиклассников уже на первых этапах ее изучения.

Урок «Что такое функция или функции вокруг нас» — первый в изучении темы «Функция». Необходимо заинтересовать и замотивировать ребят к дальнейшей плодотворной работе. Поэтому наглядность играет большую роль. Вследствие этого – презентация к уроку, плакаты с основными понятиями, раздаточный материал.

В подготовке уроков мне всегда является огромным методическим подспорьем личный, систематизированный по темам, архив Приложения Математика газеты «Первое сентября». В данном случае есть целая подборка материала по теме «Функция», откуда взят материал [8]. К сожалению, некоторые статьи, из которых тоже заимствована часть материала к уроку, отксерокопированы давно без указания номера газеты или журнала и года издания.Полный список использованных источников указан в конце статьи.

Цели и задачи:

  1. Привести учащихся к пониманию самого понятия функции и ее значения в жизни человека.
  2. Развитие умения решения задач по теме.
  3. Содействовать развитию у учащихся умений исследовать познавательные объекты, сравнивать, находить соответствия и делать выводы.

Сценарий урока (2 часа) (форма урока – ЛЕКЦИЯ с практической работой)

Техническое оснащение урока: компьютер, проектор, экран, магнитная дока.

Дидактические материалы:

  • Раздаточная папка «Функции и их графики»
  • Плакаты формата А4 с эпиграфом к уроку, с основными определениями, с формулами функций для устной работы.
  • Тетрадь с пропечатанной основой (ТПО) «Задания для обучения и развития учащихся, Алгебра, 7 класс», Лебединцева Е.А., Беленкова Е.Ю. [9].
  • Карточки с домашним заданием.

Лекционная часть

Учитель: Если мы будем рисовать ряд окружностей, все более и более увеличивая радиус, то и сама окружность будет увеличиваться. Следовательно, длина окружности зависит от радиуса. В математике всякое правило, устанавливающее подобное соответствие, называется функцией.

Большинство математических понятий прошли долгий путь развития. Сложный путь прошло и понятие функции. Оно уходит корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они еще не умели считать, но уже знали, что чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода; чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела; чем дольше горит костер, тем теплее будет в пещере.

С развитием скотоводства, земледелия, ремесел и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами.

Мы тоже являемся функцией многих переменных, одна из которых – время. Проходят годы, и мы меняемся. Мы также зависим от своей наследственности, от книг, которые мы читаем, от температуры окружающей нас среды и от многих других факторов. И поэтому тему нашего с вами УРОКА я обозначила так:

«Что же такое функция или функции рядом с нами».

Эпиграфом предлагаю взять следующие слова:

«Математическими портретами закономерностей природы служат функции»

Презентация – 1 часть: ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ (слайды 2-10)

Работа с раздаточным материалом «Что такое функция?»:

ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ?

Общее определение функции, которое мы называем теперь «классическим», сформировалось в математике не очень давно – лишь в начале прошлого века. И хотя математики имели дело с различными конкретными функциями почти на каждом шагу многовекового развития науки, все же должен был быть пройден долгий путь постепенной кристаллизации элементарных понятий и их обобщений, пока ученые пришли к необходимости общего определения функции и нашли его.

Впервые в печати формулировка определения функции как аналитического выражения или «функции вообще» появилась в одной работе ученика и сотрудника Готфрида Вильгельма Лейбница, Иоганна Бернулли в 1718 году.

С проблемой общего определения функции в середине XVIII века столкнулись крупнейшие математики того времени, Жан ле Рон Даламбер и Леонард Эйлер, в решении задачи о колебаниях струны. В спор с ними ввязался молодой математик, сын Иоганна Бернулли, Даниил Бернулли. Но в их формулировках еще ничего не говорилось о допустимом характере зависимости «первых» величин от «вторых», они оставались достаточно расплывчатыми, так что каждый из последующих математиков был волен истолковывать их на свой лад. Свою лепту внесли Сильвестр Франсуа Лакруа, Жозеф Фурье, Коши, Николай Иванович Лобачевский, Петер Лежен Дирихле. Математики даже разбились на два лагеря – сторонников определения функции «по Дирихле», не требующих обязательного правила, и сторонников определения функции «по Лобачевскому», требующих обязательного правила из конечного числа слов.

В конце двадцатых годов прошлого века над определением функции возникла новая угроза, теперь уже со стороны физиков. Теория явлений в физике микромира, новая эпоха в развитии новой физики, потребовала введения нового объекта – «дельта-функции». Здесь возникли очень серьезные разногласия между физиками и математиками, и тем значительнее представляется заслуга советского математика С.Л. Соболева, который открыл класс объектов, удовлетворяющих всем выдвинутым требованиям; впоследствии они были названы «обобщенными функциями».

Последняя форма определения функции еще не означает конца ее истории. Можно не сомневаться, что в дальнейшем под воздействием новых требований как самой математики, так и других наук – физики, биологии, науки об обществе, определение функции будет изменяться и каждое следующее изменение будет открывать новые горизонты науки и приводить к важным открытиям.

Функция переменной величины есть аналитическое выражение, составленное из этой величины и постоянных. И. Бернулли, 1718.

Функция есть кривая, начертанная свободным влечением руки. Л. Эйлер, 1748.

Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних изменяются и первые, то первые называются функциями вторых. Л. Эйлер, 1755.

Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих других количеств, называется функцией этих последних, независимо от того, известно или нет, какие операции нужно произвести, чтобы перейти от них к первому.

Функция от x есть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано и аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа. Зависимость может существовать и оставаться неизвестной. Н.И. Лобачевский, 1834.

Y есть функция от x, если всякому значению x соответствует вполне определенное значение y, причем совершенно неважно, каким именно способом установлено указанное соответствие. П. Дирихле, 1837.

Презентация – 2 часть: ФУНКЦИИ РЯДОМ С НАМИ (слайды 11-19)

Слайд 13 «Знание законов природы…» — в продолжении рассказ русского математика Игнатьева:

«Как-то проездом через некий уездный городок он узнал, что в городе есть своего рода чудо-математик. Тот решал всякую предложенную ему задачу чрезвычайно быстро, почти не думая, при помощи всего-навсего обыкновенной шахматной доски. Удивительно! Но, быть может, секрет этого доморощенного математика окажется не столь уж загадочным, если сообразить, на что похожа шахматная доска? Это та же бумага в клетку, удобная для построения графиков!»

Давайте теперь рассмотрим еще один интересный вопрос. Этот вопрос обсуждают персонажи знаменитого трактата Галилея «Беседы и математические доказательства, касающихся двух новых отраслей науки»:

«Почему не бывает животных какой угодно величины? Почему, например, нет слонов в три раза большего роста, чем существуют, но тех же пропорций?

Ответ таков: стань слон в три раза больше, вес его бы увеличился в 27 раз, как куб размера, а площадь сечения костей и, следовательно, их прочность – только в 9 раз, как квадрат размера. Прочности костей не хватило бы выдержать увеличившийся вес. Такой слон был бы раздавлен собственной тяжестью. Рассуждение вполне строгое и убедительное.

Строгость и убедительность ему придало знание собеседниками двух функциональных зависимостей: первая устанавливает соответствие между размерами подобных тел и их объемами – объем изменяется как куб размера; вторая связывает размеры подобных фигур и их площади – площадь изменяется как квадрат размера.

Говоря на математическом языке, линейный размер играет роль независимой переменной или аргумента, а объем и площадь являются зависимыми переменными или функциями.»

Запишем в тетради определения функции и графика функции.

Практическая часть

1. Слайд 17 «Чтобы наглядно проиллюстрировать…»

Третий лист раздаточной папки «Функции рядом с нами» — обсуждение с классом.

Функции рядом с нами.

Знание законов природы дало человеку возможность объяснять и предсказывать ее разнообразнейшие явления. «Математическими портретами» закономерностей природы и служит функция. Чтобы наглядно проиллюстрировать характерные свойства функции, обратимся к пословицам. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенных многовековым опытом народа.

  • «Чем дальше в лес, тем больше дров». Изобразим графиком, как нарастает количество дров по мере продвижения в глубь леса – от опушки (S), где давным-давно все собрано, до чащобы, куда еще не ступала нога заготовителя.
  • «Каши маслом не испортишь». Количество каши можно рассматривать, как функцию количества масла в ней. Согласно пословице, качество каши не понижается с добавкой масла. Подобного рода функции называются монотонно не убывающими.
  • «Дальше от кумы – меньше греха». Функция, которая показывает, как изменяется мера греха по мере удаления от кумы, – монотонно убывающая функция.
  • «Выше меры конь не скачет». Если изобразить траекторию скачущего коня, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой».
  • «Пересев хуже недосева». Вековой опыт свидетельствует: урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, а далее он снижается, потому что при чрезмерной густоте ростки начинают «глушить» друг друга. В виде графика урожай максимален, когда поле засеяно в меру. Максимум – это наибольшее значение функции по сравнению с ее значениями во всех соседних точках. Это как бы «вершина горы», с которой все дороги ведут вниз, куда ни шагни.
  • «Не круто начиная, круто кончай». Эта пословица может быть включена в правила научной организации труда. Повелительное звучание пословицы явно рассчитано на борьбу с противоположной, весьма распространенной манерой работы. На нее есть тоже своя пословица: «Горяч на почине, да скоро остыл». Обе функции, зависимы от времени, возрастающие. Но, как свидетельствуют кривые, «расти» можно по-разному.
  • Сказка «про белого бычка». Если изобразить на графике эту сказку, мы получим периодическую функцию. Еще одним примером периодической функции является прибаутка: «У попа была собака – он ее любил…» и т.п. Что такое периодичность? Периодичностью в обычной речи называют чуть ли не всякую повторяемость. Однако повторяемость может быть более или менее строгой, достаточно сравнить между собой приведенные тексты.
  • 2. Разминка (устная работа):

    ТПО, стр. 30-31, № 38-39

    3. Первая – вторая страница раздаточной папки (Приложение 1 и Приложение 2).

    Ну, а теперь попробуем найти вот такие соответствия:

    Каждой из следующих ситуаций соотнесите график функции, который описывает ее.

    xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    Что такое функция в математике

    Понятие функции в математике появилось не просто так. Давайте разберемся, зачем придумали функцию и как с ней можно работать.

    Разберём пример из жизни. Рассмотрим движение автомобиля. Предположим, что он двигается с постоянной скоростью 60 км/ч .

    То, что автомобиль двигается с постоянной скоростью 60 км/ч означает, что автомобиль проезжает 60 км за 1 час .

    Зададим себе вопрос: «Сколько километров проедет автомобиль за 2 часа ?».

    Очевидно, чтобы найти, сколько километров пройдет автомобиль за 2 часа , нужно 60 умножить на 2 . Мы получим, что за 2 часа автомобиль проедет 120 км .

    Составим таблицу, в которой укажем какое расстояние проедет автомобиль за разное время при постоянной скорости 60 км/ч .

    Если внимательно изучить таблицу станет очевидно, что между временем автомобиля в пути и пройденным расстоянием есть четкая зависимость.

    Обозначим за « x » время автомобиля в пути.

    Обозначим за « y » расстояние, пройденное автомобилем.

    Запишем зависимость « y » (расстояния) от « x » (времени в пути автомобиля).

    Давайте убедимся, что мы правильно записали зависимость пройденного расстояния от времени в пути.

    Рассчитаем по записанной формуле, сколько пройдет автомобиль за 1 ч . То есть подставим в формулу « y = 60 · x » значение x = 1 .

    y = 60 · 1 = 60(км) — пройдёт автомобиль за 1 час . Это совпадает с нашими расчетами ранее.

    Теперь рассчитаем для x = 2 .
    y = 60 · 2 = 120(км) — пройдёт автомобиль за 2 часа .

    Теперь вместо « y » запишем обозначение « y(x) ». Такая запись означает, что « y » зависит от « x ».

    Окончательная запись нашей функции, которая показывает зависимость пройденного автомобилем расстояния от времени в пути, выглядит следующим образом:

    Функцией называют зависимость « y » от « x ».

  • « x » называют переменной или аргументом функции.
  • « y » называют зависимой переменной или значением функции.
  • Запись функции в виде « y(x) = 60x » называют формульным способом задания функции.

    Конечно, нужно понимать, что функция « y(x) = 60x » — это не единственная в мире функция. В математике бесконечное множество самых разнообразных функций.

    Примеры других функций:

    Единственное, что объединяет все функции, это то, что они показывают зависимость значения функция (« y ») от её аргумента (« x »).

    Способы задания функции

    Существуют три основных способа задания функции. Все способы задания функции в математике тесно связаны друг с другом .

    Задание функции формулой

    Через формульный способ задания функции всегда можно сразу по конкретному значению аргумента « x » найти значение функции « y ».

    Например, рассмотрим функцию, заданную формульным способом.

    Найдем значение функции « y » при x = 0 . Для этого подставим в формулу вместо « x »
    число « 0 ».

    Запишем расчет следующим образом.

    Таким же образом найдем значения « y » при x = 1 и при x = 2 .

    Найдем значение « y » при x = 1 .

    Теперь найдем значение « y » при x = 2 .

    Табличный способ задания функции

    С табличным способом задания функции мы уже встречались, когда расписывали таблицу для функции, которая описывает движение автомобиля « y(x) = 60x ».

    Любую функцию можно записать с помощью таблицы. Для этого достаточно найти несколько значений « y » для произвольно выбранных значений « x ».

    Найдем значения « y » при x = −1 , x = 0 и x = 1 .

    Будьте внимательны, когда подставляете значение « x » в функцию,
    у которой перед « x » есть минус.

    Нельзя терять знак минуса, который стоит перед « x ».

    При подстановки отрицательного числа в функцию вместо « x » обязательно заключайте отрицательное число в скобки. Не забывайте использовать правило знаков.

    Подставим в функцию « y(x) = −x + 4 » вместо « x » отрицательное число « −1 ».

    Неправильно

    Теперь для функции « y(x) = −x + 4 » найдем значения « y » при x = 0 и x = 1 .

    Запишем полученные результаты в таблицу. Таким образом мы получили табличный способ задания функции « y(x) = −x + 4 ».

    math-prosto.ru

    Понятие функции

    Понятие функции в математике — одно из основных. Выражает зависимость одних переменных величин от других.

    Функция — это соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества.

    Пусть каждому числу x из множества значений D поставлено в соответствие число y из множества значений E.

    «Поставлено в соответствие» — значит, указан определённый способ (правило), по которому для каждого x∈D находят y∈E. (∈ — знак принадлежности. Запись x∈D читают «икс принадлежит дэ»).

    Чаще всего этот способ обозначают как y=f(x). Для обозначения функции применяют и другие буквы: y=g(x), s=f(t) и т.д.

    Если функция задана соответствием y=f(x), переменная x называется независимой переменной или аргументом, y — зависимой переменной или функцией.

    Множество значений D, которые может принимать x, называется областью определения функции.

    Множество значений E, которые может принимать y, называется областью значений функции.

    Функцию можно задать несколькими способами:

    — аналитическим (с помощью формулы),

    — описанием с помощью словесной формулировки).

    Функции, в которых значения аргумента и значения функции — числа, называются числовыми функциями. В курсе алгебры изучаются, в основном, числовые функции.

    1) При движении автомобиля с постоянной скоростью пройденный путь является функцией от времени .

    Например, если автомобиль движется с постоянной скоростью 60 км/ч, зависимость пути от времени можно задать формулой s=60t, где s — пройденный путь (в километрах), t — время (в часах).

    2) Периметр квадрата является функцией от его стороны.

    Зависимость периметра от стороны квадрата можно задать формулой P=4a, где P — периметр, a — длина стороны.

    www.algebraclass.ru

    Что такое функция?

    Вопрос, конечно, интересный. ) В школе термин «функция» употребляется сплошь и рядом и особых проблем не доставляет. До поры до времени. Как только с этими функциями начинается работа, вот тут и появляются вопросы, да. Бывает, функция так и остаётся монстром в тумане, с которым встречаться лишний раз не хочется. Но. Раз вы здесь, встретились, видимо. )

    Между тем, понятие функции является одним из главнейших во всей математике, науке, технике. Без этого понятия — никак. Вообще никак. Имеет смысл разобраться, правда? Тем более, что это достаточно просто. Если рискнуть, и. почитать.)

    Начнём с представления о функции, затем освоим понятие функции. После этого определение функции окажется простым и вполне человеческим.

    Представление о функции.

    Ключевое слово в понятии функции — зависимость. Или — взаимосвязь. В повседневной жизни вы часто сталкиваетесь с функциональными зависимостями. И умело пользуетесь ими, да-да! Сомневаетесь? Тогда пара житейских примеров.

    Допустим, вы идёте на встречу с приятелем. И чувствуете, что опаздываете. Что будете делать? Видимо, двигаться шустрее.) Вы твёрдо знаете: быстрей идёшь — меньше время на дорогу. Это общий закон. Время в пути зависит от скорости передвижения. Или, говоря более научно: время в пути есть функция скорости передвижения.

    Ещё пример. Вы бросаете камешек в воду. На дальность. Разумеется, стараетесь швырнуть его посильнее. Вы знаете закон: дальность полёта зависит от силы броска. Другими словами: дальность полёта есть функция силы броска.

    Вот вам и самое общее, житейское понятие о функции. Если какая-то величина А зависит от другой величины В, говорят, что величина А есть функция величины В. Зачем всё так трудно?! — слышу возмущённый вопрос. Ну зависит, и пусть зависит себе.

    Конечно, камешек бросить и без функции можно. Но в обоих примерах есть незаметный, но оч-чень важный момент. Обратите внимание: зная закон зависимости, вы знаете, что нужно делать сейчас, чтобы получить нужный результат потом. Это не очень важно при бросании камешков. А если это не камешек, а ракета? Тогда очень желательно знать, куда она попадёт, да. ) Причём, знать безошибочно! Ракета — не камешек, на берегу не валяется.

    Оказывается, знание функциональных зависимостей позволяет просчитывать результат заранее. Заманчивые возможности, правда?)

    В случае с ракетой, в любых технических (и не только!) применениях, люди просто обязаны просчитывать результат. Причём, безошибочно! Следовательно, на всякие взаимосвязи и зависимости требуется строгая математика. И она есть! Этот раздел математики называется «Математический анализ». Для студентов — просто «матан».) Элементы этого раздела — графики, функции, производные, интегралы — начинают осваивать ещё в школе.

    Представление о функции — вещь полезная. Но, для строгой математики — недостаточная.

    Понятие функции.

    Всяких величин в мире — колоссальное количество. И взаимосвязи между ними могут быть самые разнообразные. Но математика должна уметь работать со всеми. По одинаковым правилам. На то она и математика. Для начала, надо кратенько записать бесконечное множество существующих в мире взаимосвязей для бесконечного множества существующих в мире величин. Круто? А то!) Вот она, эта самая общая запись:

    Слева стоит буква игрек. Это и есть функция. Под этой буквой скрывается какая-то величина. Любая. Совсем любая. Это может быть время, температура, пройденный путь, сила тока, зарплата и всё, что угодно. Математике без разницы. Игрек, и всё тут. Игрек ещё называется зависимой переменной.

    Справа мы видим х. Икс в скобочках. Под этой буквой тоже может скрываться любая величина. Икс на этом месте (в скобочках) называется независимой переменной. Есть ещё одно называние для икса. Он ещё называется аргумент.

    И есть буква f. Под этой буквой скрываются все действия над иксом, какие можно только придумать. Не очень понятно, что это за действия? Читайте дальше, там подробненько будет.

    Прошу отметить, что в этой записи важны не столько буквы, сколько скобочки.) Да-да! Именно скобочки показывают, что от чего зависит. Буквы могут быть и другие, например g, p, t, s и т.д. Но запись, например:

    означает, что s как-то зависит от t. В такой записи s — это функция (зависимая переменная), а t — аргумент (независимая переменная). Под буквой g скрываются какие-то действия, которые совершаются с аргументом t. Если же мы поменяем буквы местами, вот так:

    то поменяется и смысл записи. Функцией станет t, а аргументом — s.

    Посмотрим на функцию в жизни?

    Предположим, мы едем на автомобиле с какой-то средней скоростью 80 км/час. Далеко едем.) Смотрим на карту и прикидываем, где мы будем через два часа, через три. Мы знаем закон, что пройденный путь S равен скорости V, умноженной на время t.

    Для нашей скорости 80 км/час:

    Т.е. через два часа мы проедем 80·2 = 160 километров, через три 80·3 = 240 километров. Элементарно, Ватсон!) Значит, между временем и расстоянием есть взаимосвязь. Значит, можно вспомнить понятие функции. Общая запись для функции:

    Под игреком в нашем случае скрывается путь S. Это зависимая переменная. Она может быть разная, (переменная же, не постоянная!) но зависит от времени.

    Под иксом скрывается время t. Это независимая переменная. Потому, что мы её выбираем сами. Независимо ни от чего. Лично. Из головы, или из условия задачи. Хотим, возьмём время 3 часа. Хотим — 33. Хотим — семь часов и двенадцать минут. Функция всё равно сработает, как надо.

    А вот путь S — какой уж получится. Для каждого времени — свой. Зависимость, понимаешь. )

    Теперь вопрос на сообразительность. А что в нашей задаче скрывается под буквой f ? Не всех осеняет сразу. )

    Под буковкой f скрывается действие — умножение на 80! Это как раз конкретный (наш!) закон, по которому наше время t превращается в путь S.

    Можно, кстати, записать функцию, используя наши буквы:

    Это означает, что путь как-то зависит от времени. Это общая функция, для любого движения. А вот если мы запишем S = 80·t, это будет уже конкретная функция для наших конкретных условий.

    Посмотрим на функции в алгебре?

    В алгебре всё попроще будет. Но суть та же самая. Есть функция y, есть аргумент x и есть закон f, по которому x превращается в y. Например, имеется функция:

    С иксом всё понятно. Он — независимая переменная. С игреком — тоже. Он — функция. А в чём заключается закон (или правило) f ? Да ничего особенного. Этот закон говорит нам: чтобы получить (посчитать) у для любого (какого хотим) х, надо этот икс умножить на два и прибавить к результату тройку. Вот игрек и получится.

    Зачем я всё время занудно про это правило f повторяю?) Да затем, чтобы определение функции, которое будет ниже, не поставило вас навечно в тупик! Кроме того, осознание правила f само по себе позволяет решать некоторые элементарные задания. Например, классика:

    Дана функция y = f(x), где f(x) = 5х+8. Найти f(2), f(0).

    Читаем задание и соображаем. Ну, y = f(x), это самая общая запись всех функций, тут ничего не найдёшь. А вот дальше эта самая f(x) написана конкретно: f(x) = 5х+8. Указаны все действия над иксом: помножить на 5 и прибавить 8. Найти нужно f(2). Это означает, что над двойкой нужно сделать те же самые действия. Те же самые, потому, что в этом задании одна и та же буква f. Одно и то же правило и для икса, и для двойки.

    Говоря школьным языком, надо тупо подставить вместо икса двойку и посчитать, что получится. )

    Вот и ответ: f(2)=18. Аналогично считается f(0). Подставляем вместо икса ноль, и считаем:

    Как видим, если в выражении стоит икс, это — функция. А если подставляем вместо икса число, получаем значение функции именно для этого числа. Кстати сказать, это же самое задание может быть записано в более коротком виде. Вот так:

    Дана функция y(x) = 5х+8. Найти y(2), y(0).

    Здесь вообще нет выражения f(x). Но знающий человек видит, что конкретная функция уже дана. А выражение y(2) означает те же действия, но не с иксом, а с двойкой. Потому, что в скобочках стоит двойка. Я же говорил, что главное здесь — скобочки!)

    Возможно, кому-то это задание показалось неприлично примитивным. Ну, ладно. Вот задание посолиднее:

    Дана функция y = f(x), где f(x) = 2х-1. Найти g(1), если g(х) = f(х 2 +1).

    Если не понимать смысл обозначений, задание не решить, да. А если понимать — нет проблем! Нам надо найти g(1). Для этого надо знать g(х). Иначе — никак. Что мы будем с единичкой делать, если неизвестно, что с ней делать?! Функция g(х) нам дана, но как-то хитро. Через другую функцию. Надо как-то найти эту самую f(х 2 +1). Но мы же умные, мы обозначения понимаем?) Что означает запись f(x) = 2х-1 ? Эта запись означает, что в этой функции х (он в скобочках) всегда умножается на 2 и от результата отнимается единичка.

    Стало быть, если нужно найти f(х 2 +1), надо проделать те же самые действия, сработать по тому же правилу, но не с иксом, а с выражением х 2 +1. Т.е. вместо х подставить в функцию х 2 +1, да и посчитать результат. И все дела. Вот и пишем:

    f(х 2 +1) = 2 · (х 2 +1)-1 = 2х 2 +2-1 = 2х 2 +1

    Значит, g(х) = 2х 2 +1.

    Здесь нужно сообразить, что в выражении g(х) буква g — это тоже правило действий над иксом. Как и f. Только действия эти другие. Именно поэтому и введены две буквы, f и g в этом задании, чтобы указать на разницу. Но смысл этих букв одинаков. Стало быть, чтобы найти g(1), надо в функцию g(х) вместо икса подставить единичку:

    g(1) = 2 · 1 2 +1 = 3

    В этом уроке постоянно повторяются слова: зависимость, соответствие, связь, закон, правило. Все эти термины объединяются в понятии функции. Главное, без чего нет функции, — это взаимосвязь каких-то переменных величин.

    Кстати, эта взаимосвязь может быть дана и не формулой. Скажем, табличка, где каждому значению икса соответствует какое-то значение игрека — это тоже функция. Есть взаимосвзь — есть функция. Или график, где можно определить значение игрека для выбранного икса — тоже функция. Но о разных способах задания функции мы поговорим подробнее в другом уроке.

    Здесь нужно просто понять, что работа с функциями (матанализ) изрядно отличается от работы с числами (арифметика) и буквами (алгебра). Хотя и не отменяет этих наук.

    С какими функциями будем работать?

    Ответ простой: с любыми.) Но все они будут числовыми и однозначными. Именно с такими функциями работает матанализ в школе и ВУЗе. Поясню смысл этих терминов. Это важно для выполнения некоторых заданий. И общего развития, да.

    Под научным названием «числовые функции» скрывается простой смысл. Переменные величины в таких функциях могут принимать только числовые значения. Только числа. Вот и весь смысл.

    Чтобы было понятнее, приведу примеры НЕ числовых функций. Скажем, настроение человека однозначно зависит от количества денег в потерянном кошельке, правда?) Есть зависимость, значит есть функция. Но, если аргумент (деньги) — вполне выражается числом, то выразить настроение в числах затруднительно.

    Или, представим игру. Один человек называет любую гласную букву, другой в ответ обязан назвать любую согласную. Взаимосвязь налицо, функция есть. Но. НЕ числовая.

    Думаю, с числовыми функциями всё понятно.

    С однозначными функциями вопрос похитрее будет. Сам по себе смысл этого понятия прост. Любому значения аргумента, т.е. независимой переменной, соответствует единственное значение функции. Другими словами, какой икс не бери, из него получится один игрек. А не два, или 15. Элементарно, но на практике случаются непонятки.)

    Скажем, в функции y=x 2 для х=2 и х=-2 мы получим одинаковые значения y=4. Т.е. для двух разных иксов получается один игрек. Где однозначность!? Ничего страшного, она на месте. Дело в том, что, при расчёте для х=2, мы получили один игрек. И при расчёте с х=-2 мы получили один игрек. То, что они оказались одинаковые — не повод обвинять функцию в неоднозначности.)

    А вот функция, скажем, y=±x будет неоднозначной. Захотим посчитать её значение, к примеру, для х=2. Получим y=±2. На один икс получили два игрека: y=+2 и y=-2. И с каким игреком работать!? Существует, конечно, понятие многозначной функции, но с такими вещами в матанализе не работают. Там проще поступают. Выражение y=±x разбивается на два: y=+x и y=-x. Каждое из этих выражений — вполне себе приличная функция. Вот и работаем с каждой по отдельности. Потом, если надо, как-то связываем результаты.

    Кстати, игра в буквы, которую я придумал чуть выше, иллюстрирует понятие НЕ числовой и НЕ однозначной функции. Кошмар какой-то.

    В матанализе НЕ числовые и (или) НЕ однозначные функции за функции не считаются.)

    Надеюсь, с понятием функции всё более-менее ясно. Теперь можно въехать и в определение функции. А то, если с него начинать, функция навсегда монстром остаться может. )

    Определение функции.

    Наиболее популярное определение функции сводится к следующему:

    Функцией называется правило f, по которому каждому элементу х множества Х ставится в соответствие единственный элемент у множества У.

    Человеку, который не в теме, так просто не понять. Но вы-то уже в теме?)

    Множество Х для числовых функций — это просто набор всех возможных значений икса. Элементом х называется любое конкретное число из этого множества. Про правило f я уже говорил, но. Так уж и быть, ещё раз.)

    Для функции у = 2х + 3, например, Х — это множество всех чисел. Вообще всех. Элемент х — любое число. 5 — элемент, и 117 — элемент, и -0,34 — элемент.

    А правило f — это действие над иксом. В данном случае правило гласит: «Умножить икс на два и к результату прибавить три». Каждому иксу соответствует (т.е. ставится в соответствие) свой игрек именно по этому правилу.

    Ну, элемент у, понятно, это конкретное значение для конкретного икса. А множество У — это набор всех возможных значений игрека.

    Замечу (на всякий случай), что данные буквы (х, Х, у, У, f) относятся к самой популярной записи функции: y = f(x). Но если будут другие буквы, смысл определения функции сохраняется.)

    Вот и все дела. Иногда говорят ещё короче:

    Функция есть закон отображения множества Х на множество У.

    Суть та же. Только фраза «ставить в соответствие» заменена на понятие «отображать».

    Бывает, в голове возникает некоторая путаница. Как так?! Всё время называем игрек функцией, работаем с ним, как с функцией, а в определении функции какое-то правило f прорезалось!?

    Дело в том, что функцией называется не только правило, но и сама зависимая переменная у. По той простой причине, что в записи конкретной функции именно игрек и показывает, что надо делать с иксом, показывает это самое правило f. Если, скажем, y=x 2 , правило — это возведение в квадрат. Если y=5x, правило — умножение на пять. Именно через игрек слова «возведение в квадрат», «умножение на пять» и т.д. переводятся в математическую запись. И никак иначе.

    Поэтому игрек — и зависимая переменная, и функция (т.е. правило f). Одновременно.

    Очень часто в определении функции присутствуют названия множеств Х и У. Множество Х — область определения функции, множество У — область значений функции. Это очень важные понятия. И вполне заслуживают отдельных уроков.)

    Но, прежде всего, имеет смысл разобраться: какие же бывают эти самые правила f, о которых говорится в определении функции? Об этом — в следующем уроке.

    helpmatan.ru

    Смотрите так же:

    • Заявление по форме 14001 при выходе участника Как правильно заполнить форму р14001 при выходе участника и образец заполнения при смене учредителя? Все изменения данных о юридических и физических лицах, находящихся в обществе одной организации, необходимо регистрировать с помощью […]
    • Правила дифференцирования с примерами Правила дифференцирования с примерами На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования. Примеры. Найти производные функций. 1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Применяем правило I, формулы 4, 2 и 1. […]
    • Повышение пенсий шахтерам Пенсии шахтерам (пенсии шахтерам Украины) Льготные пенсии назначаются пo нормам Закона о пенсионном страховании в случаe достижения пенсионного возраста и пpи наличии трудового стажа, предусмотренного Законом о пенсионном обеспечении. Пpи […]
    • Федеральный закон об акционерах Федеральный закон "Об АО" Федеральный закон от 26 декабря 1995 г. N 208-ФЗ"Об акционерных обществах" С изменениями и дополнениями от: 13 июня 1996 г., 24 мая 1999 г., 7 августа 2001 г., 21 марта, 31 октября 2002 г., 27 февраля 2003 г., 24 […]
    • Надбавка к пенсии с февраля Прибавка к пенсии в 2018-2019 году: последние новости о повышении Основные этапы повышения пенсии в 2018 году - страховых (трудовых) и социальных (по старости) - уже завершились. Остался только перерасчет пенсий работающим пенсионерам, […]
    • Мать одиночка программа жилище Программа "Жилище" 2011-2017 для матерей одиночек Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, я мать-одиночка, мне 27 лет, могу ли я участвовать в программе "Жилище" 2011-2015, для улучшения жилищных условий,т.к в данный момент я с дочерью […]