Вычислить пределы используя правила лопиталя

Нахождение предела функции в точке по правилу Лопиталя

Нахождение предела функции, по правилу Лопиталя, раскрывающий неопределённости вида 0/0 и ∞/∞.

Калькулятор ниже находит предел функции по правилу Лопиталя (через производные числителя и знаменателя). Описание правила смотри ниже.

Предел функции в точке — правило Лопиталя

Допустимые операции: + — / * ^ Константы: pi Функции: sin cosec cos tg ctg sech sec arcsin arccosec arccos arctg arcctg arcsec exp lb lg ln versin vercos haversin exsec excsc sqrt sh ch th cth csch

Точка в которой необходимо посчитать предел

Правило Лопиталя

Если выполняются следующие условия:

  • пределы функций f(x) и g(x) равны между собой и равны нулю или бесконечности:
    или ;
  • функции g(x) и f(x) дифференцируемы в проколотой окрестности a;
  • производная функции g(x) не равна нулю в проколотой окрестности a
  • и существует предел отношения производной f(x) к производной g(x):
  • Тогда существует предел отношения функций f(x) и g(x):
    ,

    И он равен пределу отношения производной функции f(x) к производной функции g(x):

    В формуле допускается использование числа пи (pi), экспоненты (e), следующих математических операторов:

    + — сложение
    — вычитание
    * — умножение
    / — деление
    ^ — возведение в степень

    и следующих функций:

    • sqrt — квадратный корень
    • rootp — корень степени p, например root3(x) — кубический корень
    • exp — e в указанной степени
    • lb — логарифм по основанию 2
    • lg — логарифм по основанию 10
    • ln — натуральный логарифм (по основанию e)
    • logp — логарифм по основанию p, например log7(x) — логарифм по основанию 7
    • sin — синус
    • cos — косинус
    • tg — тангенс
    • ctg — котангенс
    • sec — секанс
    • cosec — косеканс
    • arcsin — арксинус
    • arccos — арккосинус
    • arctg — арктангенс
    • arcctg — арккотангенс
    • arcsec — арксеканс
    • arccosec — арккосеканс
    • versin — версинус
    • vercos — коверсинус
    • haversin — гаверсинус
    • exsec — экссеканс
    • excsc — экскосеканс
    • sh — гиперболический синус
    • ch — гиперболический косинус
    • th — гиперболический тангенс
    • cth — гиперболический котангенс
    • sech — гиперболический секанс
    • csch — гиперболический косеканс
    • abs — абсолютное значение (модуль)
    • sgn — сигнум (знак)
    • planetcalc.ru

      Вычислить предел, используя правило Лопиталя

      Для разминки разберёмся с парой небольших воробушков:

      Вычислить предел по правилу Лопиталя

      Предел можно предварительно упростить, избавившись от косинуса, однако проявим уважение к условию и сразу продифференцируем числитель и знаменатель:

      В самом процессе нахождения производных нет чего-то нестандартного, так, в знаменателе использовано обычное правило дифференцирования произведения .

      Рассмотренный пример разруливается и через замечательные пределы, похожий случай разобран в конце статьи Сложные пределы.

      Это пример для самостоятельного решения. Нормально пошутил =)

      Типична ситуация, когда после дифференцирования получаются трех- или четырёхэтажные дроби:

      Напрашивается применение замечательной эквивалентности, но путь жёстко предопределён по условию:

      После дифференцирования настоятельно рекомендуюизбавляться от многоэтажности дробии проводить максимальные упрощения. Конечно, более подготовленные студенты могут пропустить последний шаг и сразу записать: , но в некоторых пределах запутаются даже отличники.

      Вычислить предел, используя правило Лопиталя

      Это примеры для самостоятельного решения. В Примере 7 можно ничего не упрощать, слишком уж простой получается после дифференцирования дробь. А вот в Примере 8 после применения правила Лопиталя крайне желательно избавиться от трёхэтажности, поскольку вычисления будут не самыми удобными. Полное решение и ответ в конце урока. Если возникли затруднения – тригонометрическая таблица в помощь.

      И, упрощения совершенно необходимы, когда после дифференцирования неопределённостьне устранена.

      Интересно, что первоначальная неопределённость после первого дифференцирования превратилась в неопределённость , и правило Лопиталя невозмутимо применяется дальше. Также заметьте, как после каждого «подхода» устраняется четырёхэтажная дробь, а константы выносятся за знак предела. В более простых примерах константы удобнее не выносить, но когда предел сложный, упрощаем всё-всё-всё. Коварство решённого примера состоит ещё и в том, что при , а , поэтому в ходе ликвидации синусов немудрено запутаться в знаках. В предпоследней строчке синусы можно было и не убивать, но пример довольно тяжелый, простительно.

      На днях мне попалось любопытное задание:

      Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя

      Если честно, немного засомневался, чему будет равен данный предел. Как демонстрировалось выше, «икс» более высокого порядка роста, чем логарифм, но «перетянет» ли он логарифм в кубе? Постарайтесь выяснить самостоятельно, за кем будет победа.

      Да, правила Лопиталя – это не только пальба по воробьям из пушки, но ещё и кропотливая работа….

      В целях применения правил Лопиталя к бубликам или уставшим восьмёркам сводятся неопределённости вида .

      Расправа с неопределённостью подробно разобрана в Примерах №№9-13 урокаМетоды решения пределов. Давайте для проформы ещё один:

      На первом шаге приводим выражение к общему знаменателю, трансформируя тем самым неопределённость в неопределённость . А затем заряжаем правило Лопиталя:

      Здесь, к слову, тот случай, когда четырёхэтажное выражение трогать бессмысленно.

      Неопределённость тоже не сопротивляется превращению в или :

      Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя

      Предел здесь односторонний, и о таких пределах уже шла речь в методичке Графики и свойства функций. Как вы помните, графика «классического» логарифма не существует слева от оси , таким образом, мы можем приближаться к нулю только справа.

      Правила Лопиталя для односторонних пределов работают, но сначала необходимо разобраться с неопределённостью . На первом шаге делаем дробь трёхэтажной, получая неопределённость , далее решение идёт по шаблонной схеме:

      После дифференцирования числителя и знаменателя избавляемся от четырёхэтажной дроби, чтобы провести упрощения. В результате нарисовалась неопределённость . Повторяем трюк: снова делаем дробь трёхэтажной и к полученной неопределённости применяем правило Лопиталя ещё раз:

      Исходный предел можно было попытаться свести к двум бубликам:

      Но, во-первых, производная в знаменателе труднее, а во-вторых, ничего хорошего из этого не выйдет.

      Таким образом, перед решением похожих примеров нужно проанализировать (устно либо на черновике), К КАКОЙ неопределённости выгоднее свести – к «нулю на ноль» или к «бесконечности на бесконечность».

      В свою очередь на огонёк подтягиваются собутыльники и более экзотические товарищи . Метод трансформации прост и стандартен:

      Для устранения неопределённости используем основное логарифмическое тождество: . В данном случае :

      На предпоследнем шаге, согласно известному школьному свойству, «сносим» синус из степени за пределы логарифма, получая произведение . На последнем шаге перемещаем значок предела в показатель (поскольку экспоненциальная функция непрерывна, да и предел относится, прежде всего, к верхнему этажу).

      Чтобы не мельчить, вычислим предел показателя отдельно:

      С неопределённостью разбираемся уже знакомым способом – делаем дробь трёхэтажной, получая долгожданную неопределённость , к которой применимо правило Лопиталя:

      Метаморфозы продолжаются, теперь вылезла неопределённость «ноль на ноль». В принципе, можно избавиться от косинуса, указав, что он стремится к единице. Но мудрая стратегия заключается в том, чтобы никто ни до чего не докопался. Поэтому сразу применим правило Лопиталя, как этого требует условие задачи:

      Не торопитесь, предел не равен нулю! Мы вычислили только предел показателя. В конце решения главное не забыть про экспоненту, я сейчас сам чуть про неё не забыл =) Окончательно:

      В ряде случаев после использование основного логарифмического тождества удаётся миновать неопределённость :

      Очередной папуас тоже сдаётся перед формулой . В данном случае :

      В результате сразу получена неопределённость , что облегчает задачу. Предел показателя для удобства вычислим отдельно:

      Аналогичное задание для самостоятельного решения:

      Полное решение и ответ в конце урока.

      Предел с неопределённостью по правилу Лопиталя, если честно, у себя не нашёл, но для полноты картины решим многострадальный шестой пример урока Замечательные пределы:

      Вычислить с помощью правила Лопиталя

      В заключение хочу успокоить гринписовцев – ни один воробей от оружия серьёзно не пострадал, пределы – птицы юркие, да и ядра формы обтекаемой. Вспоминаем обычное требование: «…не пользуясь правилом Лопиталя». С беспощадной действительностью соприкоснёмся в статье Сложные пределы.

      Пример 14
      Используем основное логарифмическое тождество и преобразование:

      Вычислим предел показателя:

      Пример 15
      Используем основное логарифмическое тождество:

      studopedia.ru

      пределы — Вычислить предел используя правило Лопиталя:

      Вычислить предел используя правило Лопиталя:

      задан 20 Дек ’15 16:42

      Найдём логарифм предела. Получится $%\dfrac<2\ln(3^<-x>+3x)><3x>$%. Пусть $%x\to+\infty$%. Получается неопределённость типа $%\frac<\infty><\infty>$%. Без учёта множителя $%\frac23$%, продифференцируем числитель и знаменатель. Производная числителя равна $%\dfrac<-3^<-x>+3><3^<-x>+3x>$%, и её предел равен нулю. Производная знаменателя равна 1. Значит, логарифм предела равен нулю, и сам предел равен 1 при $%x\to+\infty$%.

      Теперь пусть $%x\to-\infty$%. Снова имеем неопределённость прежнего типа, и применяем правило Лопиталя. Производная числителя тождественно равна $%\dfrac<-1+3\cdot3^x><1+x3^>$%, и её предел равен $%-1$%, так как $%x3^$% здесь стремится к нулю, поскольку экспонента растёт быстрее линейной функции. Производная знаменателя та же самая. Таким образом, логарифм предела оказывается равен $%-\frac23$%, а сам предел равен $%e^<-2/3>$% при $%x\to-\infty$%.

      Ввиду того, что два найденных односторонних предела не равны, можно сделать вывод, что предела функции при $%x\to\infty$% не существует.

      отвечен 20 Дек ’15 19:07

      @falcao. А разве мы не можем в ответе дать оба значения пределов: на +oo и -оо?

      @nynko: можем. Но я именно эту информацию по отдельности и дал. Остальное зависит от того, что понимали авторы условия. Если исходить из определения, то предела не существует, хотя односторонние пределы имеются.

      Здравствуйте

      Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

      задан
      20 Дек ’15 16:42

      показан
      368 раз

      обновлен
      20 Дек ’15 22:38

      math.hashcode.ru

      Правило Лопиталя для чайников: определение, примеры решения, формулы

      Мы уже начали разбираться с пределами и их решением. Продолжим по горячим следам и разберемся с решением пределов по правилу Лопиталя. Этому простому правилу по силам помочь Вам выбраться из коварных и сложных ловушек, которые преподаватели так любят использовать в примерах на контрольных по высшей математике и матанализу. Решение правилом Лопиталя – простое и быстрое. Главное – уметь дифференцировать.

      Правило Лопиталя: история и определение

      На самом деле это не совсем правило Лопиталя, а правило Лопиталя-Бернулли. Сформулировал его швейцарский математик Иоганн Бернулли, а француз Гийом Лопиталь впервые опубликовал в своем учебнике бесконечно малых в славном 1696 году. Представляете, как людям приходилось решать пределы с раскрытием неопределенностей до того, как это случилось? Мы – нет.

      Кстати, о том, какой вклад внес в науку сын Иоганна Бернулли, читайте в статье про течение жидкостей и уравнение Бернулли.

      Пределы

      Прежде чем приступать к разбору правила Лопиталя, рекомендуем прочитать вводную статью про пределы в математике и методы их решений. Часто в заданиях встречается формулировка: найти предел, не используя правило Лопиталя. О приемах, которые помогут Вам в этом, также читайте в нашей статье.

      Если имеешь дело с пределами дроби двух функций, будь готов: скоро встретишься с неопределенностью вида 0/0 или бесконечность/бесконечность. Как это понимать? В числителе и знаменателе выражения стремятся к нулю или бесконечности. Что делать с таким пределом, на первый взгляд – совершенно непонятно. Однако если применить правило Лопиталя и немного подумать, все становится на свои места.

      Но сформулируем правило Лопиталя-Бернулли. Если быть совершенно точными, оно выражается теоремой. Правило Лопиталя, определение:

      Если две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a обращаются в нуль в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х стремящемся к а существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных.

      Запишем формулу, и все сразу станет проще. Правило Лопиталя, формула:

      Так как нас интересует практическая сторона вопроса, не будем приводить здесь доказательство этой теоремы. Вам придется или поверить нам на слово, или найти его в любом учебнике по математическому анализу и убедится, что теорема верна.

      Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

      Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

      В раскрытии каких неопределенностей может помочь правило Лопиталя? Ранее мы говорили в основном о неопределенности 0/0. Однако это далеко не единственная неопределенность, с которой можно встретиться. Вот другие виды неопределенностей:

      Рассмотрим преобразования, с помощью которых можно привести эти неопределенности к виду 0/0 или бесконечность/бесконечность. После преобразования можно будет применять правило Лопиталя-Бернулли и щелкать примеры как орешки.

      Неопределенности

      Неопределенность вида бесконечность/бесконечность сводится к неопределенность вида 0/0 простым преобразованием:

      Пусть есть произведение двух функций, одна из которых первая стремиться к нулю, а вторая – к бесконечности. Применяем преобразование, и произведение нуля и бесконечности превращается в неопределенность 0/0:

      Для нахождения пределов с неопределенностями типа бесконечность минус бесконечность используем следующее преобразование, приводящее к неопределенности 0/0:

      Для того чтобы пользоваться правилом Лопиталя, нужно уметь брать производные. Приведем ниже таблицу производных элементарных функций, которой Вы сможете пользоваться при решении примеров, а также правила вычисления производных сложных функций:

      Таблица производных

      Теперь перейдем к примерам.

      Найти предел по правилу Лопиталя:

      Вычислить с использованием правила Лопиталя:

      Важный момент! Если предел вторых и последующих производных функций существует при х стремящемся к а, то правило Лопиталя можно применять несколько раз.

      Найдем предел (n – натуральное число). Для этого применим правило Лопиталя n раз:

      Желаем удачи в освоении математического анализа. А если Вам понадобится найти предел используя правило Лопиталя, написать реферат по правилу Лопиталя, вычислить корни дифференциального уравнения или даже рассчитать тензор инерции тела, обращайтесь к нашим авторам. Они с радостью помогут разобраться в тонкостях решения.

      zaochnik.ru

      Предел функции, правило Лопиталя

      Применение правила Лопиталя необходимо для вычисления пределов при получении неопределенностей вида » open=» 0 0 и » open=» ∞ ∞ .

      Имеются неопределенности вида » open=» 0 · ∞ и » open=» ∞ — ∞ .

      Самой важной частью правила Лопиталя является дифференцирование функции и нахождение ее производной.

      Правило Лопиталя

      Когда lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = » open=» 0 0 или » open=» ∞ ∞ и функции f ( x ) , g ( x ) являются дифференцируемыми в пределах точки х 0 , тогда lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = lim x → x 0 f ‘ ( x ) g ‘ ( x ) .

      Если неопределенность нерешаема после применения правила Лопиталя, тогда необходимо снова его применить. Для полного понятия рассмотрим несколько примеров.

      Произвести вычисления, применив правило Лопиталя lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) .

      Для решения по правилу Лопиталя для начала необходимо произвести подстановку. Получаем, что lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) = sin 2 ( 3 · 0 ) 0 · cos ( 0 ) = » open=» 0 0 .

      Теперь можно переходить к вычислению пределов, используя правило. Получаем, что

      lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) = » open=» 0 0 = lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) ‘ x · cos ( x ) ‘ = lim x → 0 2 sin ( 3 x ) ( sin ( 3 x ) ) ‘ x ‘ · cos ( x ) + x · ( cos ( x ) ) ‘ = = lim x → 0 6 sin ( 3 x ) cos ( 3 x ) cos ( x ) — x · sin ( x ) = 6 sin ( 3 · 0 ) cos ( 3 · 0 ) cos ( 0 ) — 0 · sin ( 0 ) = 0 1 = 0

      Ответ: lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) = 0 .

      Вычислить предел заданной функции lim x → ∞ ln ( x ) x .

      Производим постановку бесконечностью. Получаем, что

      lim x → ∞ ln ( x ) x = ln ( ∞ ) ∞ = » open=» ∞ ∞

      Полученная неопределенность указывает на то, что необходимо применить правило Лопиталя. Имеем, что

      lim x → ∞ ln ( x ) x = » open=» ∞ ∞ = lim x → ∞ ln ( x ) ‘ x ‘ = lim x → ∞ 1 x 1 = 1 ∞ = 0

      Ответ: lim x → ∞ ln ( x ) x = 0

      Вычислить предел заданной функции lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) )

      Производим подстановку значения x . получаем, что

      lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = ( 0 + 0 ) 4 · ln ( 0 + 0 ) = » open=» 0 · ( — ∞ )

      Решение привело к неопределенности вида ноль умноженный на отрицательную бесконечность. Это указывает на то, что необходимо обратиться к таблице неопределенностей и принять решения для выбора метода нахождения этого предела. После преобразования применяем правило Лопиталя. Получаем, что

      lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = » open=» 0 · ( — ∞ ) = lim x → 0 + 0 ln ( x ) x — 4 = ln ( 0 + 0 ) ( 0 + 0 ) — 4 = » open=» — ∞ + ∞

      Приход к неопределенности говорит о том, что необходимо повторное применение этого правила. Имеем, что

      lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = » open=» 0 · ( — ∞ ) = lim x → 0 + 0 ln ( x ) x — 4 = » open=» — ∞ + ∞ = = lim x → 0 + 0 ( ln ( x ) ) ‘ ( x — 4 ) ‘ = lim x → 0 + 0 1 x — 4 — 5 = — 1 4 lim x → 0 + 0 1 x — 4 = — 1 4 · 1 ( 0 + 0 ) — 4 = = — 1 4 · ( 0 + 0 ) 4 = 0

      Ответ: lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = 0

      Выполнить вычисление предела функции lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 .

      После подстановки получаем

      lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 = » open=» ∞ — ∞

      Наличие неопределенности указывает на то, что следует использовать правило Лопиталя. Получаем, что

      lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 = » open=» ∞ — ∞ = lim x → 0 cos 2 ( x ) sin 2 ( x ) — 1 x 2 = = lim x → 0 x 2 cos 2 ( x ) — sin 2 ( x ) x 2 sin 2 ( x ) = lim x → 0 x cos x — sin x x cos x + sin x x 2 sin 2 ( x ) = = lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) x cos x + sin x x = lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) cos x + sin x x = = lim x → 0 cos x + sin x x lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) = 2 lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) = = 2 0 · cos ( 0 ) — sin ( 0 ) 0 · sin 2 ( 0 ) = » open=» 0 0

      Для последнего перехода использовался первый замечательный предел. После чего приходим к решению по Лопиталю. Получим, что

      2 lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) = » open=» 0 0 = 2 lim x → 0 ( x cos x — sin x ) ‘ ( x sin 2 ( x ) ) ‘ = = 2 lim x → 0 cos x — x sin x — cos x sin 2 ( x ) + 2 x sin x cos x = 2 lim x → 0 — x sin ( x ) + 2 x cos x = » open=» 0 0

      Так как неопределенность не ушла, необходимо еще одно применение правила Лопиталя. Получаем предел вида

      2 lim x → 0 — x sin ( x ) + 2 x cos x = » open=» 0 0 = 2 lim x → 0 — x ‘ sin ( x ) + 2 x cos x ‘ = = 2 lim x → 0 1 cos x + 2 cos x — 2 x sin x = — 2 · 1 3 · cos ( 0 ) — 2 · 0 · sin ( 0 ) = — 2 3

      Ответ: lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 = — 2 3

      www.zaochnik.com

    Смотрите так же:

    • Собственность больше не кража Собственность больше не кража proprietà non è più un furto Страна: Италия Франция Год: 1973 Жанр: комедия драма Продолжительность: 120 минут (2:00) Режиссер: Сценарист: Элио Петри Уго Пирро Продюсер: […]
    • Заявление о взыскании неустойки по договору долевого участия Образец искового заявления о взыскании неустойки по договору долевого участия в строительстве Форма и содержание искового заявления должны соответствовать требованиям 131-132 статей Гражданского Процессуального кодекса. Исковое заявление […]
    • Настоящий брачный договор Брачный договор (образец) БРАЧНЫЙ ДОГОВОР Город Москва, шестое июня две тысячи тринадцатого года. Мы, гр. Ф.И.О., 00 месяца 0000 года рождения, место рождения: гор. Москва, гражданство: Российская Федерация, пол: мужской, паспорт 0000 […]
    • Курган городской суд Председатель Курганского городского суда ведет прием граждан с 8 00 до 11 00 каждую среду без предварительной записи Выберите пошлину: 1. Подача искового заявления 2. Подача заявления о вынесении судебного приказа 3. Подача заявления по […]
    • Кредит под залог квартиры в альфа банке Кредит в Альфа-Банке под залог имеющегося жилья Данный кредит предназначен для клиентов банка, владеющих собственным жильем и готовых предоставить его в качестве обеспечения по кредиту Кредит под залог квартиры выдается на: […]
    • Ipad 3 разрешения Экран высокого разрешения для iPad 3 Из официальных источников известно, что компания Apple ведет разработку нового поколения планшетов iPad 3 с большим разрешением. Для этого был сделан крупный заказ на разработку LCD-дисплеев сразу двум […]