Найдите пределы по правилу лопиталя

Правило Лопиталя

Введите функцию и точку для предела, которому надо применить правило Лопиталя

Вычислим предел функции с помощью правила Лопиталя. Вы введёте функцию, для которой требуется вычислить предел и точку в которой предел должен сходиться.

      • 1
      • (x^2-1)/(2*x^2-x-1)
          • ((1+x)*(1+2*x)*(1+3*x)-1)/x
            • ((1+x)^5-(1+5*x))/(x^2+x^5)
              • +oo
              • (x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)/(5*x-1)^5
                • 0
                • ( cos(x*e^x) — cos(x*e^(-x)) )/x^3
                  • ( sinh(x) )^2 / ln( cosh(3*x) )

                  Правила ввода выражений и функций

                  Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

                  absolute(x) Абсолютное значение x
                  (модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x e e число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
                  (Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) pi Число — «Пи», которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) sign(x) Функция — Знак x erf(x) Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

                  В выражениях можно применять следующие операции:

                  Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5 2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание

                  www.kontrolnaya-rabota.ru

                  Правило Лопиталя с примерами

                  Правило Лопиталя (п. Л.) облегчает вычисление пределов функций. Например, надо найти предел функции, которая является отношением функций стремящихся к нулю. Т.е. отношение функций это неопределенность 0/0. Раскрыть ее поможет правило Лопиталя. В пределе отношение функций можно заменить отношением производных этих функций. Т.е. надо производную числителя разделить на производную знаменателя и от этой дроби взять предел.

                  1. Неопределенность 0/0. Первое п.Л.

                  Если = 0, то , если последний существует.

                  2. Неопределенность вида ∞/∞ Второе п. Л.

                  Нахождение пределов такого типа называется раскрытием неопределенностей.

                  Если = ∞, то , если последний существует.

                  3. Неопределенности 0⋅∞, ∞- ∞, 1 ∞ и 0 0 сводятся к неопределенностям 0/0 и ∞/∞ путем преобразований. Такая запись служит для краткого указания случая при отыскании предела. Каждая неопределенность раскрывается по своему. Правило Лопиталя можно применять несколько раз, пока не избавимся от неопределенности. Применение правила Лопиталя приносит пользу тогда, когда отношение производных удается преобразовать к более удобному виду легче, чем отношение функций.

                  • 0⋅∞ произведение двух функций, первая стремится к нулю, вторая к бесконечности;
                  • ∞- ∞ разность функций, стремящихся к бесконечности;
                  • 1 ∞ степень, ее основание стремится к единице, а показатель к бесконечности;
                  • ∞ 0 степень, ее основание стремится к бесконечности, а степень к нулю;
                  • 0 0 степень, ее основание стремится к 0 и показатель тоже стремятся к нулю.
                  • Пример 1. В этом примере неопределенность 0/0

                    Пример 2. Здесь ∞/∞

                    В этих примерах производные числителя делим на производные знаменателя и подставляем предельное значение вместо х.

                    Пример 3. Вид неопределенности 0⋅∞ .

                    Неопределенность 0⋅∞ преобразуем к ∞/∞, для этого х переносим в знаменатель в виде дроби 1/x , в числителе пишем производную от числителя, а в знаменателе производную от знаменателя.

                    Пример 4 Вычислить предел функции

                    Здесь неопределенность вида ∞ 0 Сначала логарифмируем функцию, затем найдем от нее предел

                    Для получения ответа надо е возвести в степень -1, получим e -1 .

                    Пример 5. Вычислить предел от если x → 0

                    Решение. Вид неопределенности ∞ -∞ Приведя дробь к общему знаменателю перейдем от ∞-∞ к 0/0. Применим правило Лопиталя, однако снова получим неопределенность 0/0, поэтому п. Л. надо применить второй раз. Решение имеет вид:

                    = = = =
                    = =

                    Пример 6 Решить

                    Решение. Вид неопределенности ∞/∞, раскрыв ее получим

                    = = = 0.

                    В случаях 3), 4), 5) сначала логарифмируют функцию и находят предел логарифма, а затем искомый предел е возводим в полученную степень.

                    Пример 7. Вычислить предел

                    Решение. Здесь вид неопределенности 1 ∞ . Обозначим A =

                    Тогда lnA = = = = 2.

                    Основание логарифма е, поэтому для получения ответа надо е возвести в квадрат, получим e 2 .

                    Иногда бывают случаи, когда отношение функций имеет предел, в отличие от отношения производных, которое не имеет его.

                    Т.к. sinx ограничен, а х неограниченно растет, второй член равен 0.

                    Эта функция не имеет предела, т.к. она постоянно колеблется между 0 и 2, к этому примеру неприменимо п. Л.

                    www.mathelp.spb.ru

                    Правило Лопиталя: теория и примеры решений

                    Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей

                    Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей, возникающих при вычислении предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций значительно упрощается с помощью правила Лопиталя (на самом деле двух правил и замечаний к ним).

                    Суть правил Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.

                    Перейдём к формулировкам правил Лопиталя.

                    Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно малых величин. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a, причём в этой окрестности g‘(x)≠0 и если и если пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны нулю

                    (),

                    то предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных

                    Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно больших величин. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a, причём в этой окрестности g‘(x)≠0 и если и если пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны бесконечности

                    (),

                    ().

                    Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).

                    Замечания.

                    1. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда функции f(x) и g(x) не определены при x = a.

                    2. Если при вычисления предела отношения производных функций f(x) и g(x) снова приходим к неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, то правила Лопиталя следует применять многократно (минимум дважды).

                    3. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда аргумент функций (икс) стремится не к конечному числу a, а к бесконечности (x → ∞).

                    К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.

                    Раскрытие неопределённостей видов «ноль делить на ноль» и «бесконечность делить на бесконечность»

                    Пример 1. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

                    Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому производную каждой функции и получаем

                    В числителе вычисляли производную многочлена, а в знаменателе — производную сложной логарифмической функции. Перед последним знаком равенства вычисляли обычный предел, подставляя вместо икса двойку.

                    Пример 2. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

                    .

                    Пример 3. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

                    .

                    Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:

                    Пример 4. Вычислить

                    .

                    Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:

                    Замечание. Переходим к примерам, в которых правило Лопиталя приходится применять дважды, то есть приходить к пределу отношений вторых производных, так как предел отношения первых производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞.

                    Пример 5. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

                    .

                    Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞.

                    Пример 6. Вычислить

                    .

                    Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида 0/0.

                    Пример 7. Вычислить

                    .

                    Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида — ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.

                    Пример 8. Вычислить

                    .

                    Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.

                    Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение

                    Пример 9. Вычислить

                    .

                    Подсказка. Здесь придётся попыхтеть несколько больше обычного над преобразованием выражений под знаком предела.

                    Пример 10. Вычислить

                    .

                    Подсказка. Здесь правило Лопиталя придётся применять трижды.

                    Раскрытие неопределённостей вида «ноль умножить на бесконечность»

                    Пример 11. Вычислить

                    .

                    (здесь неопределённость вида 0∙∞ мы преобразовали к виду ∞/∞, так как

                    а затем применили правила Лопиталя).

                    Пример 12. Вычислить

                    .

                    В этом примере использовано тригонометрическое тождество .

                    Раскрытие неопределённостей видов «ноль в степени ноль», «бесконечность в степени ноль» и «один в степени бесконечность»

                    Неопределённости вида , или обычно приводятся к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью логарифмирования функции вида

                    Чтобы вычислить предел выражения , следует использовать логарифмическое тождество , частным случаем которого является и свойство логарифма .

                    Используя логарифмическое тождество и свойство непрерывности функции (для перехода за знак предела), предел следует вычислять следующим образом:

                    Отдельно следует находить предел выражения в показателе степени и возводить e в найденную степень.

                    Пример 13. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

                    .

                    Вычисляем предел выражения в показателе степени

                    .

                    .

                    Пример 14. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

                    .

                    .

                    .

                    Пример 15. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

                    .

                    .

                    Раскрытие неопределённостей вида «бесконечность минус бесконечность»

                    Это случаи, когда вычисление предела разности функций приводит к неопределённости «бесконечность минус бесконечность»: .

                    Вычисление такого предела по правилу Лопиталя в общем виде выглядит следующим образом:

                    В результате таких преобразований часто получаются сложные выражения, поэтому целесообразно использовать такие преобразования разности функций, как приведение к общему знаменателю, умножение и деление на одно и то же число, использование тригонометрических тождеств и т.д.

                    Пример 16. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

                    .

                    Пример 17. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

                    .

                    Решение. Пользуясь вышеперечисленными рекомендациями, получаем

                    function-x.ru

                    В математическом анализе правилом Лопита́ля называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида $ 0/0 $ и $ \infty/\infty $ . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

                    Содержание

                    Точная формулировка Править

                    Правило говорит, что если функции $ f(x) $ и $ g(x) $ обладают следующим набором условий:

                    тогда существует $ \lim_<\frac> = \lim_<\frac> $ . При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).

                    История Править

                    Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован Лопиталем в его сочинении «Анализ бесконечно малых», изданном в 1696 году. В предисловии к этому сочинению Лопиталь указывает, что без всякого стеснения пользовался открытиями Лейбница и братьев Бернулли и «не имеет ничего против того, чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно». Иоганн Бернулли предъявил претензии на все сочинение Лопиталя целиком и в частности после смерти Лопиталя опубликовал работу под примечательным названием «Усовершенствование моего опубликованнного в „Анализе бесконечно малых“ метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают», 1704.

                    Доказательство Править

                    1. Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида $ \left(\frac<0><0>\right) $ ).

                    Поскольку мы рассматриваем функции $ f $ и $ g $ только в правой проколотой полуокрестности точки $ a $ , мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть $ f(a)=g(a)=0 $ . Возьмём некоторый $ x $ из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку $ [a,\;x] $ теорему Коши. По этой теореме получим:

                    но $ f(a)=g(a)=0 $ , поэтому $ \forall x\, \exists c \in [a,\;x]\!:\frac=\frac $ .

                    Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через $ A $ , из полученного равенства выводим:

                    $ \forall \varepsilon>0\, \exists \delta>0\, \forall x(x-a $ \forall M > 0\, \exists \delta>0\, \forall x(x-a M) $ для бесконечного,

                    что является определением предела отношения функций.

                    2. Докажем теорему для неопределённостей вида $ \left(\frac<\infty><\infty>\right) $ .

                    Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен $ A $ . Тогда, при стремлении $ x $ к $ a $ справа, это отношение можно записать как $ A+\alpha $ , где $ \alpha $ — O(1). Запишем это условие:

                    $ \forall\varepsilon_<1>\, \exists \delta_<1>\, \forall x(x-a

                    Зафиксируем $ t $ из отрезка $ [a,\;a+\delta_1] $ и применим теорему Коши ко всем $ x $ из отрезка $ [a,\;t] $ :

                    Для $ x $ , достаточно близких к $ a $ , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как $ f(t) $ и $ g(t) $ — константы, а $ f(x) $ и $ g(x) $ стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен $ 1+\beta $ , где $ \beta $ — бесконечно малая функция при стремлении $ x $ к $ a $ справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение $ \varepsilon $ , что и в определении для $ \alpha $ :

                    $ \forall \varepsilon_<1>\, \exists \delta_<2>\, \forall x(x-a

                    Получили, что отношение функций представимо в виде $ (1+\beta)(A+\alpha) $ , и $ \left|\frac-A\right| $ \forall M>0\, \exists \delta_<1>>0\, \forall x(x-a 2M) $ .

                    В определении $ \beta $ будем брать $ \varepsilon_ <1>\frac<1><2>\cdot 2M=M\Rightarrow \lim_<\frac>=+\infty $ .

                    Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

                    ru.math.wikia.com

                    Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя

                    Зависимости координат от времени при движении материальной точки в плоскости

                    Определить модуль скорость (

                    А. Модуль скорости материальной точки от времени выражается по формуле:

                    Б. . Модуль ускорения материальной точки от времени выражается по формуле:

                    Данные уравнения описывают движение материальной точки с постоянным ускорением

                    Спутник вращается вокруг земли по круговой орбите на высоте

                    На спутник, движущийся по круговой орбите, действует сила тяжести

                    Эту формулу можно упростить следующим образом. На тело массой

                    Таким образом, линейная скорость спутника равна

                    а угловая скорость

                    Рассматриваемые в задаче оба шара образуют замкнутую систему и в случае упругого удара и импульс системы, и механическая (кинетическая) энергия сохраняется. Запишем оба закона сохранения (с учётом неподвижности второго шара до удара):

                    Таким образом, налетающий (первый) шар в результате удара уменьшил свою скорость с 1,05 м/с до 0,45 м/с, хотя и продолжил движение в прежнем направлении, а ранее неподвижный (второй) шар приобрёл скорость, равную 1,5 м/с и теперь оба шара движутся по одной прямой, и в одном направлении.

                    Так как масса газа в баллоне меняется, то начальное и конечное состояния газа в баллоне нельзя связывать ни законом Бойля-Мариотта, ни законом Шарля.равнением газа в баллоне меняется, то начальное и конечное состояния газа в баллоне нельзя связывать законом Бойля-Мариотт Нужно для каждого состояния записать уравнение Менделеева-Клапейрона

                    mirznanii.com

Смотрите так же:

  • Образец заявление для гражданства приложение 1 Кто ответственен за прием заявлений на гражданство? Какие документы необходимы? Анкета, заполненная дважды; Оригинал и заверенная копия документа, удостоверяющего личность; ВНЖ; Документальное подтверждение знания […]
  • Как оформит подарок на день рождения Как можно оригинально подарить деньги на день рождения? Выбрать подарок на день рождения не так уж и просто: не попадешь в точку, и именинник расстроится. Правда, есть один беспроигрышный вариант – это деньги. Осталось только придумать, […]
  • Правила доклада о работе Правила доклада о работе ПИШЕМ ДОКЛАД Доклад есть достаточно неизученная, но довольно часто встречающаяся работа в учебных заведениях. Различают устный и письменный доклад (по содержанию близкий к реферату). Доклад — вид самостоятельной […]
  • Юрист старая русса Юристы в Старой Руссе Расстояние от центра: 0.3 км. 0 ✉ Адрес Новгородская обл., Старорусский р-н, Старая Русса г., ул. Энгельса, 10 ☎ Телефон +7 (81652) 5-75-87 ⌚ Часы работы пн-пт 09:00-18:00; сб 09:00-16:00 В последнее […]
  • Пребывание на территории россии граждан армении Новый закон об уточнениях в миграционном учете иностранных граждан от 27.06.2018 27 июня 2018 года президент РФ подписал Федеральный закон № 163-ФЗ "О внесении изменений в Федеральный закон "О миграционном учете иностранных граждан и лиц […]
  • Букина жалоба Букина жалоба Поделитесь с друзьями: Ключевые теги новости: Стихи, Б. Заходер Другие новости по теме: Детские колыбельные песенки Но-шпа при беременности Поздравление кадровому работнику "Кадровик бывает разным" Поздравления с 23 […]