Правило неизвестного множителя

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо…

Вернемся к нашему уравнению 3+x=8 . Согласно правилу, нам надо из известной суммы 8 вычесть известное слагаемое 3 . То есть, выполняем вычитание натуральных чисел: 8−3=5 , так мы нашли нужное нам неизвестное слагаемое, оно равно 5 .

  • наконец, еще ниже, записывают уравнение, полученное после выполнения действий с числами.
  • Смысл такой формы записи заключается в том, что исходное уравнение последовательно заменяется равносильными уравнениями, из которых в итоге становится очевиден корень исходного уравнения. Подробно об этом говорят на уроках алгебры в 7 классе, а пока оформим решение нашего уравнения уровня 3 класса:
    3+x=8 ,
    x=8−3 ,
    x=5 .

    Как найти неизвестное уменьшаемое, вычитаемое?

    Приведем краткий вариант решения этого уравнения:
    9−x=4 ,
    x=9−4 ,
    x=5 .

    Остается лишь проверить правильность найденного вычитаемого. Сделаем проверку, для чего подставим в исходное уравнение вместо x найденное значение 5 , при этом получаем числовое равенство 9−5=4 . Оно верное, поэтому найденное нами значение вычитаемого правильное.

    Давайте взглянем на уравнения x·3=12 и 2·y=6 . В них неизвестное число является множителем в левой части, а произведение и второй множитель известны. Для нахождения неизвестного множителя можно использовать такое правило: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

    Кратко решение уравнения записывается в виде последовательности равенств:
    x·3=12 ,
    x=12:3 ,
    x=4 .

    Отдельно нужно обратить внимание на то, что озвученное правило нельзя применять для нахождения неизвестного множителя, когда другой множитель равен нулю. Например, это правило не подходит для решения уравнения x·0=11 . Действительно, если в этом случае придерживаться правила, то чтобы найти неизвестный множитель нам надо выполнить деление произведения 11 на другой множитель, равный нулю, а на нуль делить нельзя. Эти случаи мы подробно обсудим при разговоре о линейных уравнениях.

    И еще один момент: действуя по изученному правилу, мы фактически выполняем деление обеих частей уравнения на отличный от нуля известный множитель. В 6 классе будет сказано, что обе части уравнения можно умножать и делить на одно и то же отличное от нуля число, это не влияет на корни уравнения.

    Как найти неизвестное делимое, делитель?

    Рассмотрим его применение на примере. Решим уравнение x:5=9 . Чтобы найти неизвестное делимое этого уравнения надо согласно правилу умножить известное частное 9 на известный делитель 5 , то есть, выполняем умножение натуральных чисел: 9·5=45 . Таким образом, искомое делимое равно 45 .

    Проверка подтверждает, что значение неизвестного делимого найдено верно. Действительно, при подстановке в исходное уравнение вместо переменной x числа 45 оно обращается в верное числовое равенство 45:5=9 .

    Заметим, что разобранное правило можно трактовать как умножение обеих частей уравнения на известный делитель. Такое преобразование не влияет на корни уравнения.

    Рассмотрим пример. Найдем неизвестный делитель из уравнения 18:x=3 . Для этого нам нужно известное делимое 18 разделить на известное частное 3 , имеем 18:3=6 . Таким образом, искомый делитель равен шести.

    Решение можно оформить и так:
    18:x=3 ,
    x=18:3 ,
    x=6 .

    Совместное использование правил

    Последовательное применение правил нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого и делителя позволяет решать и уравнения с единственной переменной более сложного вида. Разберемся с этим на примере.

    Рассмотрим уравнение 3·x+1=7 . Сначала мы можем найти неизвестное слагаемое 3·x , для этого надо от суммы 7 отнять известное слагаемое 1 , получаем 3·x=7−1 и дальше 3·x=6 . Теперь осталось найти неизвестный множитель, разделив произведение 6 на известный множитель 3 , имеем x=6:3 , откуда x=2 . Так найден корень исходного уравнения.

    Для закрепления материала приведем краткое решение еще одного уравнения (2·x−7):3−5=2 .
    (2·x−7):3−5=2 ,
    (2·x−7):3=2+5 ,
    (2·x−7):3=7 ,
    2·x−7=7·3 ,
    2·x−7=21 ,
    2·x=21+7 ,
    2·x=28 ,
    x=28:2 ,
    x=14 .

    Нахождение неизвестного слагаемого, множителя, и т.п., правила, примеры, решения

    Женя с Колей решили покушать яблок, для чего начали их сшибать с яблони. Женя добыл 3 яблока, а в конце процесса у мальчиков оказалось 8 яблок. Сколько яблок сшиб Коля?

    Для этого существует следующее правило: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

    Озвученное правило позволяет по одному известному слагаемому и известной сумме определить другое неизвестное слагаемое. При этом не имеет значения, какое из слагаемых неизвестно, первое или второе. Рассмотрим его применение на примере.

    Принята следующая форма записи решения подобных уравнений:

    • сначала записывают исходное уравнение,
    • ниже – уравнение, получающееся после применения правила нахождения неизвестного слагаемого,

    Для примера рассмотрим уравнение x−2=5 . Оно содержит неизвестное уменьшаемое. Приведенное правило нам указывает, что для его отыскания мы должны к известной разности 5 прибавить известное вычитаемое 2 , имеем 5+2=7 . Таким образом, искомое уменьшаемое равно семи.

    Если опустить пояснения, то решение записывается так:
    x−2=5 ,
    x=5+2 ,
    x=7 .

    В основе этого правила лежит то, что делению чисел мы придали смысл, обратный смыслу умножения. То есть, между умножением и делением существует связь: из равенства a·b=c , в котором a≠0 и b≠0 следует, что c:a=b и c:b=c , и обратно.

    Для примера найдем неизвестный множитель уравнения x·3=12 . Согласно правилу нам надо разделить известное произведение 12 на известный множитель 3 . Проведем деление натуральных чисел: 12:3=4 . Таким образом, неизвестный множитель равен 4 .

    Желательно еще сделать проверку результата: подставляем в исходное уравнение вместо буквы найденное значение, получаем 4·3=12 – верное числовое равенство, поэтому мы верно нашли значение неизвестного множителя.

    Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

    Покажем краткую запись решения:
    x:5=9 ,
    x=9·5 ,
    x=45 .

    Переходим к правилу нахождения неизвестного делителя: чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

    Проверим этот результат для надежности: 18:6=3 – верное числовое равенство, следовательно, корень уравнения найден верно.

    Понятно, что данное правило можно применять только тогда, когда частное отлично от нуля, чтобы не столкнуться с делением на нуль. Когда частное равно нулю, то возможны два случая. Если при этом делимое равно нулю, то есть, уравнение имеет вид 0:x=0 , то этому уравнению удовлетворяет любое отличное от нуля значение делителя. Иными словами, корнями такого уравнения являются любые числа, не равные нулю. Если же при равном нулю частном делимое отлично от нуля, то ни при каких значениях делителя исходное уравнение не обращается в верное числовое равенство, то есть, уравнение не имеет корней. Для иллюстрации приведем уравнение 5:x=0 , оно не имеет решений.

    Долгий путь наработки навыков решения уравнений начинается с решения самых первых и относительно простых уравнений. Под такими уравнениями мы подразумеваем уравнения, в левой части которых находится сумма, разность, произведение или частное двух чисел, одно из которых неизвестно, а в правой части стоит число. То есть, эти уравнения содержат неизвестное слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое, множитель, делимое или делитель. О решении таких уравнений и пойдет речь в этой статье.

    Здесь мы приведем правила, позволяющие находить неизвестное слагаемое, множитель и т.п. Причем будем сразу рассматривать применение этих правил на практике, решая характерные уравнения.

    Навигация по странице.

    Для перевода этой типично задачи на математический язык, обозначим неизвестное число яблок, которые сшиб Коля, через x . Тогда по условию 3 Жениных яблока и x Колиных вместе составляют 8 яблок. Последней фразе соответствует уравнение вида 3+x=8 . В левой части этого уравнения находится сумма, содержащая неизвестное слагаемое, в правой части стоит значение этой суммы — число 8 . Так как же найти интересующее нас неизвестное слагаемое x ?

    Это правило объясняется тем, что вычитанию придается смысл, обратный смыслу сложения. Иными словами, между сложением и вычитанием чисел существует связь, которая выражается в следующем: из того, что a+b=c следует, что c−a=b и c−b=a , и наоборот, из c−a=b , как и из c−b=a следует, что a+b=c .

    Чтобы убедиться в правильности полученного ответа, желательно сделать проверку. Для этого полученный корень уравнения надо подставить в исходное уравнение и посмотреть, дает ли это верное числовое равенство.

    Итак, подставляем в исходное уравнение 3+x=8 вместо x число 5 , получаем 3+5=8 – это равенство верное, следовательно, мы правильно нашли неизвестное слагаемое. Если бы при проверке мы получили неверное числовое равенство, то это указало бы нам на то, что мы неверно решили уравнение. Основными причинами этого могут быть либо применение не того правила, которое нужно, либо вычислительные ошибки.

    Связь между сложением и вычитанием чисел, про которую мы уже упоминали в предыдущем пункте, позволяет получить правило нахождения неизвестного уменьшаемого через известное вычитаемое и разность, а также правило нахождения неизвестного вычитаемого через известное уменьшаемое и разность. Будем формулировать их по очереди, и сразу приводить решение соответствующих уравнений.

    Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

    Для самоконтроля выполним проверку. Подставляем в исходное уравнение найденное уменьшаемое, при этом получаем числовое равенство 7−2=5 . Оно верное, поэтому, можно быть уверенным, что мы верно определили значение неизвестного уменьшаемого.

    Можно переходить к нахождению неизвестного вычитаемого. Оно находится с помощью сложения по следующему правилу: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

    Решим уравнение вида 9−x=4 с помощью записанного правила. В этом уравнении неизвестным является вычитаемое. Чтобы его найти, нам надо от известного уменьшаемого 9 отнять известную разность 4 , имеем 9−4=5 . Таким образом, искомое вычитаемое равно пяти.

    И прежде чем переходить к следующему правилу заметим, что в 6 классе рассматривается правило решения уравнений, которое позволяет выполнять перенос любого слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. Так вот все рассмотренные выше правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого с ним полностью согласованы.

    Чтобы найти неизвестный множитель, надо…

    В рамках нашей темы осталось разобраться, как найти неизвестное делимое при известном делителе и частном, а также как найти неизвестный делитель при известном делимом и частном. Ответить на эти вопросы позволяет уже упомянутая в предыдущем пункте связь между умножением и делением.

    www.cleverstudents.ru

    Нахождение неизвестного множителя

    Тип урока: урок постановки учебной задачи, планирования и поиска способа её решения, конкретизации и применения способа.

    Цели урока:

    1. Создать условия для анализа детьми учебной задачи, помогающей поставить цель на нахождение неизвестного множителя.
    2. Помочь школьникам в постановке вопросов по поводу недостаточности своих знаний, умений.
    3. Организовать работу по поиску и усвоению способа решения учебной задачи и на конкретизацию общего способа действия.
    4. Способствовать развитию памяти, внимания, логического мышления, умения обобщать, конкретизировать.
    5. Обеспечить условия для работы в парах и группах, для развития коммуникативных способностей, соблюдать правила работы.
    6. Помогать в осознании каждым учеником своей причастности к результату совместной учебной деятельности.
    7. Создать условия для формирования и совершенствования качеств личности (аккуратности, ответственности, доброжелательности).

    Ход урока

    Создала благоприятную рабочую обстановку в классе.

    – Над какой темой мы работаем на уроке математики?
    – Что мы уже знаем по этой теме?

    – Я предлагаю вам подумать, чему мы учимся, выполняя такие задания?
    – Какие из данных уравнений вы уже умеете решать, а какие пока ещё нет?
    x + 35 = 50
    70 – x = 28
    x – 23 = 46
    x ·3 = 15

    На какой вопрос мы будем искать ответ, чтобы научиться выполнять такие задания? Какую цель поставим перед собой?

    – На уроке математики мы изучаем умножение.
    – Умножение- это сложение одинаковых слагаемых.
    – Умножение 1 и 0 на число.
    – При перестановке множителей произведение не изменяется.
    – Заменяем умножение сложением и сложение умножением.
    – Решаем задачи на умножение и составляем обратные задачи.
    – Мы учимся находить неизвестные компоненты.
    – Мы умеем находить неизвестное слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое.
    – Но мы пока не знаем, как найти неизвестный множитель.
    – Мы не можем решить уравнение, так как не знаем, как найти неизвестный множитель.

    – Научиться находить неизвестный множитель.

    Помогаю детям вспомнить, что изучаем на уроке; осознать предмет изучения.

    Это помогло связать пройденное с новым материалом.

    Предлагаю задание, с которым может справиться каждый ребёнок.
    Создаю ситуацию противоречия между имеющимся жизненным опытом и учебной проблемной ситуацией.

    – Как схематически изобразить суть этого вопроса? Сначала подумайте сами, потом обсудите с товарищем, обсудите в паре.

    – Если мы найдём ответ на вопрос, то сможем решать такие уравнения?

    Дети предлагают свои варианты.
    x · 3 = 15
    □ · 3 = 15
    ? · 3 = 15
    x =?

    – Да, мы будем знать, как найти неизвестный множитель, сможем воспользоваться этим правилом.

    – Что будем делать сначала, с чего можем начать работу?
    – Итак, для того, чтобы помочь вам ответить на вопрос, я предложу вам задание.
    Сначала каждый подумает сам. А потом проверим свои предположения в паре.
    На втором этапе поработаем в группе и попытаемся ответить на вопрос: как найти неизвестный множитель.
    Как можем проверить себя, свои выводы?

    – Для чего мы будем искать этот способ?
    – Затем мы потренируемся с помощью этого способа выполнять другие задания.

    – Сначала подумаем сами, затем посоветуемся с товарищами, попробуем найти ответ на вопрос.

    – На доске появляется план урока.

    – Чтобы выполнять различные задания, уметь решать уравнения, задачи.

    Схематично фиксирую каждое предложение детей.

    С помощью составленной лесенки-плана дети могут удерживать учебную цель, задачу.

    – Итак, я предлагаю вам выполнить следующее задание.
    – На полку поставили 3 ряда кубиков по 7 кубиков в каждом ряду. Сколько кубиков поставили?
    – Сделайте рисунок.
    – Решите задачу.
    – Составьте обратные задачи.
    – Запишите только решение.

    – Проверьте работу друг друга

    – Просмотрите все числовые выражения. Как связаны числа между собой?
    – Определите эту зависимость и попробуйте записать её схематически, буквами или символами.
    – Как будем выполнять это задание: каждый попробует сам, в группе или вместе? Почему?

    – Представьте, пожалуйста, классу результаты своей работы в группе.

    – Сравните свой вывод с выводом в учебнике.

    – Дети выполняют задание.
    ○○○○○○○
    ○○○○○○○
    ○○○○○○○
    7 · 3 = 21(к.)
    21 : 3 = 7(к.)
    21 : 7 = 3(р.)

    – Дети проверяют работы друг друга, объясняют, если есть ошибки.

    – Я думаю в группе, потому что так легче найти решение.
    – Можно в группе, так как из нескольких предложенных вариантов лучше найти правильный ответ.
    – В группе, потому что можно поделиться открытием с товарищем.
    Дети работают в группах.
    – Дети представляют варианты своих ответов.
    a · b = c
    a · x = c
    a = c : b
    c : a = b
    x = c :
    a b = c : a
    c : b = a
    a = c : x
    – Читают вывод в учебнике, сравнивают со своим.

    – Организую взаимопроверку работ с целью выявления правильности выполнения для дальнейшей постановки проблемы.
    Поддерживаю осознание причастности каждого в результат совместной учебной деятельности.
    Для организации учебного сотрудничества считаю необходимым на данном этапе провести работу в группах.
    Учу детей слушать друг друга.
    Все предложения детей фиксирую на доске.
    Провожу обсуждение.
    Обсуждаем, как не очень удачные предложения сделать понятными.

    – Дети договариваются об очерёдности, повторяют задание.
    – Нам надо решить уравнение. Для этого нужно найти неизвестный множитель.
    – Чтобы его найти (показывают на схему) надо произведение разделить на другой множитель.

    Обсуждение решения.
    – Какая пара готова рассказать о своём решении?
    – Есть ли другие решения?

    – Как найти неизвестный множитель?

    – Выбери те задания, которые можно выполнить таким способом.
    1. x + 15 = 45
    2. 6 · x = 18
    3. Составить тройку примеров, используя числа 5, 3, 15.

    – Как изменить условие, чтобы был применим этот способ?

    – Какие ещё задачи могут быть решены тем же способом?

    – Выберите задание из учебника, для выполнения которого подойдёт правило.
    – Сделаем задание №2.

    – Достигли ли мы своей цели?
    – Чему учились? С каким новым правилом мы познакомились?
    – Что нового узнали?

    – Пара детей представляет своё решение. Остальные ребята слушают и понимают идеи одноклассников.

    – Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на другой множитель.

    – Это правило поможет при решении второго уравнения.
    – При выполнении задания №3.

    – При составлении первого уравнения можно поменять знак.

    – При решении примеров на деление. Например, чтобы узнать, сколько будет 27 : 3 надо вспомнить пример на умножение 3 · 9 = 27, потому что, если произведение разделить на множитель получится другой множитель.
    – При решении задач. Когда мы решаем задачу на умножение и составляем обратные задачи. При проверке задач.
    – Это правило используется при выполнении задания №2.
    – Дети самостоятельно выполняют задание.
    – После выполнения один ученик зачитывает результаты. Остальные ребята сравнивают со своими решениями.
    – Мы узнали, как находить неизвестный множитель. Да, мы достигли своей цели.
    – Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

    Эти упражнения нацелены на обучение детей применять правило в конкретной ситуации, контролировать свои действия в работе с правилом.

    Организую слушание детьми ответов друг друга.

    Помогаю детям вспомнить материал. Какой шаг выполнен.

    – Итак, мы выяснили, как связаны между собой произведение и множители, как найти неизвестный множитель.
    – Посмотрите на наш план работы.
    – На каком этапе мы остановились? Чему будем учиться теперь?
    – Пользуясь этим правилом, выполните следующие задания.
    1. Составьте тройки примеров, используя числа 6, 4, 18.
    2. Решите уравнение.
    x + 5 = 15
    3. Найдите значение вторых выражений, используя первые выражения.
    6 · 4 = 24 2 · 8 = 16
    24 : 2 = 16 : 4 =
    – Обсудите решение в группах. Кто готов поделиться своим мнением?

    – Можно ли действовать, используя это правило, если изменить условие в заданиях.

    – Посмотрите на страницу 28. Выберите те задания, для выполнения которых можно использовать правило о нахождении неизвестного множителя, те задания, которые помогут этому научиться.

    – Мы будем учиться выполнять задания на нахождение неизвестного множителя.

    – Дети распределяют функции, очерёдность. Затем повторяют задание.
    – Эти задания нельзя решить, используя данное правило.
    – В них надо изменить условие.

    – Дети предлагают свои варианты.
    – Надо поменять числа, чтобы множители и произведение были связаны между собой.
    – Во втором задании можно поменять знак действия, так как в правиле говорится о множителях и произведении.

    – Дети выбирают соответствующие задания, аргументируют свой выбор.

    – Дети, ориентируясь на схему плана, смогли поставить перед собой задачу.

    Организую обсуждение вариантов решения в группах.
    Дети обобщают выводы об условиях использования способа.
    Учу задавать вопросы на понимание.
    Коллективное обсуждение условий, задач, для решения которых применимо правило, соотнесение частных задач с общим способом позволяет конкретизировать способ, выявить условия, в которых этот способ применим.
    Учу работать с информацией учебника, определять цель заданий. Помогаю детям осознать, чему они будут учиться, выполняя это задание.

    – Я предлагаю вам выполнить задание №1.
    – Что нужно сделать?

    – Как вы думаете, можно ли для его выполнения использовать данное правило? Почему?

    – Это задание мы будем выполнять с комментированием. Кто хочет «вести за собой» класс?

    – Мы узнали, как находить неизвестный множитель, достигли своей цели.
    – Дети уточняют, что они усвоили, над чем ещё надо поработать.

    – В группах мы учились работать дружно, выслушивать мнение каждого, старались понять и поддержать друг друга.

    – Ребята осмысливают, чему они научились, работая в парах, в группах. Дают советы друг другу и себе, чему ещё надо учиться.

    xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    Смотрите так же:

    • Закон о труде рф 2014 Статья 94. Продолжительность ежедневной работы (смены) СТ 94 ТК РФ. Продолжительность ежедневной работы (смены) не может превышать: для работников (включая лиц, получающих общее образование или среднее профессиональное образование и […]
    • Ук ст 15 ч 6 Пленум ВС РФ разъяснил порядок изменения судами категории преступления на менее тяжкую Сегодня на заседании Пленума Верховного Суда Российской Федерации было принято Постановление "О практике применения судами положений ч. 6 ст. 15 […]
    • Картотека арбитражного суда краснодарского края Арбитражный суд Краснодарского края 18 июля 2018 года состоялось совещание судей и работников аппарата Арбитражного суда Краснодарского края по итогам работы за 6 месяцев 2018 года Состоялись плановые учебные занятия с работниками […]
    • Федеральный закон российской федерации от 2 апреля 2014 г N 44-фз Федеральный закон российской федерации от 2 апреля 2014 г N 44-фз Федеральный закон от 2 апреля 2014 г. N 44-ФЗ"Об участии граждан в охране общественного порядка" С изменениями и дополнениями от: 31 декабря 2017 г. Принят […]
    • Гражданский кодекс российской федерации федеральный закон часть первая Раздел I. Общие положения (ст.ст. 1 - 208) Раздел I. Общие положения Подраздел 1. Основные положения (ст.ст. 1 - 16) Глава 1. Гражданское законодательство (ст.ст. 1 - 7) Статья 1. Основные начала гражданского законодательства […]
    • Заявление на получение налогового вычета у работодателя образец Заявление на имущественный вычет Физическое лицо имеет право на получение имущественных налоговых вычетов, предусмотренных ст. 220 НК РФ. В общем случае эти вычеты предоставляются лицу при подаче по окончании года налоговой декларации по […]