Решить систему уравнений правило

Метод подстановки

1. Выразить у через х из одного уравнения системы.
2. Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы.
3. Решить полученное уравнение относительно х.
4. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения вместо х в выражение у через х, полученное на первом шаге.
5. Записать ответ в виде пар значений (х; у), которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шаге.

Переменные х и у, разумеется, равноправны, поэтому с таким же успехом мы можем на первом шаге алгоритма выразить не у через х, а х через у из одного уравнения. Обычно выбирают то уравнение, которое представляется более простым, и выражают ту переменную из него, для которой эта процедура представляется более простой.

Ответ: (2; 1);

Пример 2. Решить систему уравнений


Решение.

Ответ:

С методом введения новой переменной при решении рациональных уравнений с одной переменной вы познакомились в курсе алгебры 8-го класса. Суть этого метода при решении систем уравнений та же самая, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности, которые мы и обсудим в следующих примерах.

Решение. Введем новую переменную Тогда первое уравнение системы можно будет переписать в более простом виде: Решим это уравнение относительно переменной t:


Это уравнение не имеет корней, значит, и система уравнений не имеет решений. Таким образом, в ответ надо включить только решения первой системы.

Метод введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными применяется в двух вариантах. Первый вариант: вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы. Именно так обстояло дело в примере 3.Второй вариант: вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы. Так будет обстоять дело в примере 4.

Это позволит переписать заданную систему в значительно более простом виде, но относительно новых переменных а и b:


Ответ:
Завершим этот параграф кратким, но достаточно серьезным теоретическим разговором. Вы уже накопили некоторый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадратных, рациональных, иррациональных. Вы знаете, что основная идея решения уравнения состоит в постепенном переходе от одного уравнения к другому, более простому, но равносильному заданному. В предыдущем параграфе мы ввели понятие равносильности для уравнений с двумя переменными. Используют это понятие и для систем уравнений.

В этом случае, мы должны построить прямую и найти точки (0;−3) и (3;0).

И что мы получаем в итоге?

edufuture.biz

Решить систему уравнений правило

В этом параграфе мы обсудим три метода решения систем уравнений, более надежные, чем графический метод, который рассмотрели в предыдущем параграфе.


4) Подставим поочередно каждое из найденных значений у в формулу х = 5 — Зу. Если то
5) Пары (2; 1) и решения заданной системы уравнений.

Метод алгебраического сложения

Этот метод, как и метод подстановки, знаком вам из курса алгебры 7-го класса, где он применялся для решения систем линейных уравнений. Суть метода напомним на следующем примере.

Умножим все члены первого уравнения системы на 3, а второе уравнение оставим без изменения:
Вычтем второе уравнение системы из ее первого уравнения:


Эту систему можно решить методом подстановки. Из второго уравнения находим Подставив это выражение вместо у в первое уравнение системы, получим


Осталось подставить найденные значения х в формулу


Таким образом, мы нашли два решения системы:

Метод введения новых переменных


Оба эти значения удовлетворяют условию , а потому являются корнями рационального уравнения с переменной t. Но значит, либо откуда находим, что х = 2у, либо
Таким образом, с помощью метода введения новой переменной нам удалось как бы «расслоить» первое уравнение системы, достаточно сложное по виду, на два более простых уравнения:

Что же дальше? А дальше каждое из двух полученных простых уравнений нужно поочередно рассмотреть в системе с уравнением х 2 — у 2 = 3, о котором мы пока не вспоминали. Иными словами, задача сводится к решению двух систем уравнений:

Надо найти решения первой системы, второй системы и все полученные пары значений включить в ответ. Решим первую систему уравнений:


Воспользуемся методом подстановки, тем более что здесь для него все готово: подставим выражение 2у вместо х во второе уравнение системы. Получим


Так как х = 2у, то находим соответственно х1 = 2, х2 = 2. Тем самым получены два решения заданной системы: (2; 1) и (-2; -1). Решим вторую систему уравнений:


Снова воспользуемся методом подстановки: подставим выражение 2х вместо у во второе уравнение системы. Получим

Введем две новые переменные:

Учтем, что тогда


Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения:


Так как а = 1, то из уравнения а + 6 = 2 находим: 1 + 6 = 2; 6=1. Таким образом, относительно переменных а и b мы получили одно решение:

Две системы уравнений с переменными х и у называют равносильными, если они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений.

Мы уже с вами научились решать системы уравнений такими распространенными и надежными способами, как метод подстановки, алгебраического сложения и введения новых переменных. А теперь давайте с вами вспомним, метод, который вы уже изучали на предыдущем уроке. То есть давайте повторим, что вы знаете о графическом методе решения.

Метод решения систем уравнения графическим способом представляет собой построение графика для каждого из конкретных уравнений, которые входят в данную систему и находятся в одной координатной плоскости, а также где требуется найти пересечения точек этих графиков. Для решения данной системы уравнений являются координаты этой точки (x; y).

А теперь на каждом из этих решений остановимся подробнее. И так, система уравнений может иметь единственное решение в случае, если прямые, которые являются графиками уравнений системы, пересекаются. Если же эти прямые параллельны, то такая система уравнений абсолютно не имеет решений. В случае же совпадения прямых графиков уравнений системы, то тогда такая система позволяет найти множество решений.

Давайте этот метод рассмотрим более подробно на примере. Нам дана система уравнений, которую необходимо решить:

1. Вначале мы с вами будем строить график данного уравнения: x2+y2=9.

Но следует заметить, что данным графиком уравнений будет окружность, имеющая центр в начале координат, а ее радиус будет равен трем.

Получившиеся при пересечении прямой с окружностью числа (3;0) и (0;−3), как раз и являются решениями обоих уравнений системы. А из этого следует, что данные числа являются и решениями этой системы уравнений.

Этот метод мы применяли в 7-м классе для решения систем линейных уравнений. Тот алгоритм, который был выработан в 7-м классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений (не обязательно линейных) с двумя переменными х и у (разумеется, переменные могут быть обозначены и другими буквами, что не имеет значения). Фактически этим алгоритмом мы воспользовались в предыдущем параграфе, когда задача о двузначном числе привела к математической модели, представляющей собой систему уравнений. Эту систему уравнений мы решили выше методом подстановки (см. пример 1 из § 4).

Алгоритм использования метода подстановки при решении системы двух уравнений с двумя переменными х, у.

Пример 1. Решить систему уравнений

1) Выразим х через у из первого уравнения системы: х = 5 — 3у.
2)Подставим полученное выражение вместо х во второе уравнение системы: (5 — 3у) у — 2.
3)Решим полученное уравнение:


В результате алгебраического сложения двух уравнений исходной системы получилось уравнение, более простое, чем первое и второе уравнения заданной системы. Этим более простым уравнением мы имеем право заменить любое уравнение заданной системы, например второе. Тогда заданная система уравнений заменится более простой системой:

Пример 3. Решить систему уравнений

Пример 4. Решить систему уравнений


Возвращаясь к переменным х и у, получаем систему уравнений


Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения:


Так как то из уравнения 2x + y = 3 находим:
Таким образом, относительно переменных х и у мы получили одно решение:

Все три метода (подстановки, алгебраического сложения и введения новых переменных), которые мы обсудили в этом параграфе, абсолютно корректны с точки зрения равносильности. Иными словами, используя эти методы, мы заменяем одну систему уравнений другой, более простой, но равносильной первоначальной системе.

Графический метод решения систем уравнений

Следует вспомнить, что для графической системы уравнений свойственно иметь либо одно единственное верное решение, либо бесконечное множество решений, либо же не иметь решений вообще.

Ну а теперь давайте с вами рассмотрим алгоритм решения системы двух уравнений с 2-мя неизвестными графическим методом:

• Во-первых, вначале мы с вами строим график 1-го уравнения;
• Вторым этапом будет построение графика, который относится ко второму уравнению;
• В-третьих, нам необходимо найти точки пересечения графиков.
• И в итоге мы получаем координаты каждой точки пересечения, которые и будут решением системы уравнений.

2. Следующим нашим шагом будет построение графика такого уравнения, как: y = x – 3.

3. Смотрим, что у нас получилось. Мы видим, что прямая пересекает окружность в двух ее точках A и B.

Теперь мы с вами ищем координаты этих точек. Мы видим, что координаты (3;0) соответствуют точке А, а координаты (0;−3) соответственно точке В.

То есть, ответом этого решения являются числа: (3;0) и (0;−3).

Смотрите так же:

  • Как правильно заполнить стаж в больничном листе Инструкция по заполнению больничного листа в 2018 году. Образец заполнения Некорректно заполненные больничные листы могут быть не приняты в Фонде социального страхования. Последствия у этого могут быть самые разные: работодатель или […]
  • Ст 264 ук рф 6 Статья 264. Нарушение правил дорожного движения и эксплуатации транспортных средств СТ 264 УК РФ. 1. Нарушение лицом, управляющим автомобилем, трамваем либо другим механическим транспортным средством, правил дорожного движения или […]
  • Когда повысят пенсию инвалидам с детства 2 группы Когда повысят пенсию инвалидам с детства 2 группы МОСКВА И МОСКОВСКАЯ ОБЛАСТЬ: +7 (499) 653-60-72 доб. 360 САНКТ-ПЕТЕРБУРГ И ЛЕНИГРАДСКАЯ ОБЛАСТЬ: +7 (812) 426-14-07 доб. 306 РЕГИОНЫ, ФЕДЕРАЛЬНЫЙ НОМЕР: +8 (800) 500-27-29 доб. 126 […]
  • Правила доклада о работе Правила доклада о работе ПИШЕМ ДОКЛАД Доклад есть достаточно неизученная, но довольно часто встречающаяся работа в учебных заведениях. Различают устный и письменный доклад (по содержанию близкий к реферату). Доклад — вид самостоятельной […]
  • Заявление об отчислениях в пенсионный фонд ЧТО ВАЖНО ЗНАТЬ О НОВОМ ЗАКОНОПРОЕКТЕ О ПЕНСИЯХ Подписка на новости Письмо для подтверждения подписки отправлено на указанный вами e-mail. 30 марта 2017 Сегодня в СМИ появились информационные сообщения о том, что из-за балльной системы […]
  • Работа на авито в уфе с проживанием Работа Каменщик Уфа Чтобы устроиться на должность Каменщик в г. Уфа, часто требуется: ЧИТАТЬ ВНИМАТЕЛЬНО. Мы сами Вам new_releasesперезвоним. А ПИШЕМ СМС НА УКАЗАННЫЙ НОМЕР ВИДЕ: ИМЯ, И ВАШ НОМЕР ТЕЛЕФОНА, СТАЖОПЫТ РАБОТЫ, ВОЗРАСТ. НЕ […]