Разность дробей правило

Сложение дробей

При сложении дробей могут встретиться разные случаи.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Такой случай наиболее простой. При сложении дробей с равными знаменателями складывают числители, а знаменатель оставляют тот же.

C помощью букв это правило сложения можно записать так:

Записывая ответ, проверьте нельзя ли полученную дробь сократить.

Сложение дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно воспользоваться следующими правилами.

  • Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Для этого найти наименьшее общее кратное знаменателей.
  • Пример. Сложить дроби.

    Как найти общий знаменатель

    Находим НОК (15, 18) .

    НОК (15, 18) = 3 · 2 · 3 · 5 = 90

      Найти дополнительные множители для каждой дроби. Для этого наименьший общий знаменатель (НОК из пункта 1) делим по очереди на знаменатель каждой дроби.

    Полученные числа и будут дополнительными множителями для каждой из дробей. Множители записываем над числителем дроби справа сверху.

    90 : 15 = 6 — дополнительный множитель для дроби

    90 : 18 = 5 — дополнительный множитель для дроби

    Вычитание дробей

    При вычитании дробей, как и при сложении, могут встретиться несколько случаев.

    Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

    При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями от числителя уменьшаемого (первой дроби) отнимают числитель вычитаемого (второй дроби), а знаменатель оставляют прежним.

    Прежде чем записать конечный ответ, проверьте, нельзя ли сократить полученную дробь.

    В буквенном виде правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями записывают так:

    Вычитание правильной дроби из единицы

    Когда нужно вычесть из единицы правильную дробь, единицу представляют в виде неправильной дроби, знаменатель которой, равен знаменателю вычитаемой дроби.

    Знаменатель вычитаемой дроби равен 7 , значит, единицу представляют как неправильную дробь

    Вычитание правильной дроби из целого числа

    Чтобы из целого числа вычесть правильную дробь нужно представить это натуральное число в виде смешанного числа.

    Для этого занимаем единицу в натуральном числе и представляем её в виде неправильной дроби, знаменатель которой равен знаменателю вычитаемой дроби.

    В примере единицу мы заменили неправильной дробью

    Вычитание смешанных чисел

    При вычитании смешанных чисел отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.

    При подобных расчётах могут встретиться разные случаи.

    Первый случай вычитания смешанных чисел

    У дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из чего вычитаем) больше или равен числителю дробной части вычитаемого (что вычитаем).

    Второй случай вычитания смешанных чисел

    У дробных частей разные знаменатели.

    В этом случае вначале нужно привести к общему знаменателю дробные части, а затем выполнить вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.

    Третий случай вычитания смешанных чисел

    Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

    Так как у дробных частей разные знаменатели, то как и во втором случае, вначале приведём обыкновенные дроби к общему знаменателю.

    Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого.

    math-prosto.ru

    Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

    Складывать и вычитать дроби с разными знаменателями можно только тогда, когда в процессе вычисления дроби приведены к одному общему знаменателю.

    Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, являющихся знаменателями заданных дробей.

    К числителям заданных дробей нужно поставить дополнительные множители, равные отношению НОК и соответствующего знаменателя.

    Числители заданных дробей умножаются на свои дополнительные множители, получаются числители дробей с единым общим знаменателем. Знаки действий («+» или «-») в записи дробей, приводимых к общему знаменателю, сохраняются перед каждой дробью. У дробей с общим знаменателем знаки действий сохраняются перед каждым приведенным числителем.

    Только теперь можно сложить или вычесть числители и подписать под результатом общий знаменатель.

    Внимание! Если в результирующей дроби у числителя и знаменателя есть общие множители, то дробь надо сократить. Неправильную дробь желательно перевести в смешанную дробь. Оставить результат сложения или вычитания, не сократив дробь, где это возможно, — это неоконченное решение примера!

    Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Правило. Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно их сначала привести к наименьшему общему знаменателю, а потом производить действия сложения или вычитания как с дробями с одинаковыми знаменателями.

    Порядок действий при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями

    1. найти НОК всех знаменателей;
    2. проставить к каждой дроби дополнительные множители;
    3. умножить каждый числитель на дополнительный множитель;
    4. полученные произведения взять числителями, подписав под каждой дробью общий знаменатель;
    5. произвести сложение или вычитание числителей дробей, подписав под суммой или разностью общий знаменатель.
    6. Так же производится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.

      shkolo.ru

      Сложение и вычитание дробей

      Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.

      Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:

      Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

      Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.

      Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:

      Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители — и все.

      Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.

      Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.

      Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!

      Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.

      Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:

    7. Плюс на минус дает минус;
    8. Минус на минус дает плюс.
    9. Разберем все это на конкретных примерах:

      В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:

      Что делать, если знаменатели разные

      Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

      Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю», поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:

      В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

      Что делать, если у дроби есть целая часть

      Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.

      Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:

    10. Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
    11. Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
    12. Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.
    13. Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:

      Задача. Найдите значение выражения:

      Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:

      Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.

      Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.

      Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.

      Резюме: общая схема вычислений

      В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:

      1. Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите эти дроби в неправильные;
      2. Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас способом (если, конечно, этого не сделали составители задач);
      3. Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
      4. Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась неправильной, выделите целую часть.

      Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.

      www.berdov.com

      Дроби. Вычитание дробей.

      Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

      Для нахождения разницы 2х дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо вычесть из числителя 1й дроби числитель 2й дроби, а знаменатель обоих дробей оставить не изменяя. Вычитание обыкновенных дробей:

      Обратите внимание! Перед тем как написать окончательный ответ, посмотрите, может можно сократить дробь, которую вы получили.

      Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, примеры:

      ,

      ,

      Вычитание правильной дроби из единицы.

      Если необходимо вычесть из единицы дробь, которая является правильной, единицу переводят к виду неправильной дроби, у нее знаменатель равен знаменателю вычитаемой дроби.

      Пример вычитания правильной дроби из единицы:

      Знаменатель вычитаемой дроби = 7, т.е., единицу представляем в виде неправильной дроби 7/7 и вычитаем по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

      Вычитание правильной дроби из целого числа.

      Правила вычитания дробей – правильной из целого числа (натурального числа) :

      • Переводим заданные дроби, которые содержат целую часть, в неправильные. Получаем нормальные слагаемые (не важно если они с разными знаменателями), которые считаем по правилам, приведенным выше;
      • Далее вычисляем разность дробей, которые мы получили. В результате мы почти найдем ответ;
      • Выполняем обратное преобразование, то есть избавляемся от неправильной дроби – выделяем в дроби целую часть.
      • Вычтем из целого числа правильную дробь: представляем натуральное число в виде смешанного числа. Т.е. занимаем единицу в натуральном числе и переводим её к виду неправильной дроби, знаменатель при этом такой же, как у вычитаемой дроби.

        Пример вычитания дробей:

        В примере единицу мы заменили неправильной дробью 7/7 и вместо 3 записали смешанное число и от дробной части отняли дробь.

        Вычитание дробей с разными знаменателями.

        Или, если сказать другими словами, вычитание разных дробей.

        Правило вычитания дробей с разными знаменателями. Для того, чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо, для начала, привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ), и только послеиэтого произвести вычитание как с дробями с одинаковыми знаменателями.

        Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, которые являются знаменателями данных дробей.

        Внимание! Если в конечной дроби у числителя и знаменателя есть общие множители, то дробь необходимо сократить. Неправильную дробь лучше представить в виде смешанной дроби. Оставить результат вычитания, не сократив дробь, где есть возможность, — это незаконченное решение примера!

        Порядок действий при вычитании дробей с разными знаменателями.

        • найти НОК для всех знаменателей;
        • поставить для всех дробей дополнительные множители;
        • умножить все числители на дополнительный множитель;
        • полученные произведения записываем в числитель, подписывая под всеми дробями общий знаменатель;
        • произвести вычитание числителей дробей, подписывая под разностью общий знаменатель.

        Таким же образом проводится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.

        Вычитание дробей, примеры:

        Вычитание смешанных дробей.

        При вычитании смешанных дробей (чисел) отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.

        Первый вариант вычитания смешанных дробей.

        Если у дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из него вычитаем) ≥ числителю дробной части вычитаемого (его вычитаем).

        Второй вариант вычитания смешанных дробей.

        Когда у дробных частей разные знаменатели. Для начала приводим к общему знаменателю дробные части, а после этого выполняем вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.

        Третий вариант вычитания смешанных дробей.

        Т.к. у дробных частей разные знаменатели, значит, как и при втором варианте, сначала приводим обыкновенные дроби к общему знаменателю.

        Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого. 3

        www.calc.ru

    Смотрите так же:

    • Детские пособия до 15 или до 16 Размер и правила оформления детского пособия до 16 и 18 лет На сегодня Правительство РФ всячески пытается наладить демографическую ситуацию в стране, которая за последние несколько лет значительно ухудшилась. Одним из главных инструментов […]
    • Закон о возврате сотового телефона Самозащита потребителя Возврат телефона Вернуть некачественный телефон в магазин не сложно, достаточно знать следующее: 1. Потребитель имеет право вернуть некачественный телефон продавцу и потребовать возврата уплаченных за бракованный […]
    • Пример заявления для загранпаспорта старого образца Образец и инструкция по заполнению анкеты на загранпаспорт старого образца для лиц старше 18 лет Анкета-заявление для взрослых (Скачать) (скачано сегодня: 5 раз, всего: 307976 раз) Образец заполненной анкеты для взрослых (Скачать) […]
    • Пособие на ребёнка в россии на 2014 год Ежемесячное пособие на ребенка, установленное в субъекте РФ Каждый регион определяет размер, порядок назначения и выплаты такого пособия самостоятельно. К примеру, в Москве региональное ежемесячное пособие на ребенка установлено для семей […]
    • Предоставление разрешения на ввод объекта в эксплуатацию Все интернет-ресурсы Департамента Сделать стартовой в браузере Mozilla Firefox 1) Перенесите герб округа на значок "Домик", расположенный рядом с адресной строкой в браузере Сделать стартовой в браузере Google Chrome 1) Нажмите […]
    • Сила лоренца правило рук Урок физики в 11 классе Правило левой руки. Используя правило левой руки можно определять направление Силы Ампера Силы Лоренца. - презентация Презентация была опубликована 5 лет назад пользователемarhiiv.koolielu.ee Похожие […]