Правила произведения матриц

Действия с матрицами

Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами: сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>>.

Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами.

Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов:

Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Это просто таблица (набор) чисел!

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:

и три столбца:

СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами.

На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.

Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами:

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

Обратный пример: . Выглядит безобразно.

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок.

2) Действие второе. Умножение матрицы на число.

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Еще один полезный пример:

– умножение матрицы на дробь

Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО:

Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).

И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

Из статьи Математика для чайников или с чего начать, мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.

Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

3) Действие третье. Транспонирование матрицы.

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Транспонировать матрицу

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

– транспонированная матрица.

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

Транспонировать матрицу

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц.

Сумма матриц действие несложное.
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Сложить матрицы и

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

Найти разность матриц ,

А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.

5) Действие пятое. Умножение матриц.

Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры.

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .

Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

, следовательно, выполнить умножение невозможно:

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение

Как умножить матрицы?

Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей.

Начнем с самого простого:

Умножить матрицу на матрицу
Я буду сразу приводить формулу для каждого случая:

– попытайтесь сразу уловить закономерность.

Умножить матрицу на матрицу

Формула:

В результате получена так называемая нулевая матрица.

Попробуйте самостоятельно выполнить умножение (правильный ответ ).

Обратите внимание, что ! Это почти всегда так!

Таким образом, при умножении переставлять матрицы нельзя!

Если в задании предложено умножить матрицу на матрицу , то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

Переходим к матрицам третьего порядка:

Умножить матрицу на матрицу

Формула очень похожа на предыдущие формулы:

А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:

Умножьте матрицу на матрицу

Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать!

Данная тема достаточно обширна, и я вынес этот пункт на отдельную страницу.

А пока спектакль закончен.

После освоения начального уровня рекомендую отработать действия с матрицами на уроке Свойства операций над матрицами. Матричные выражения.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com

mathprofi.ru

Перемножение (произведение) матриц, формула

имеющей порядки m и n на матрицу

имеющую порядки n и p называется матрица

имеющая порядки m и p и элементы определяемые формулой

Иначе: Элемент ci,j стоящий на пересечении i строки и j столбца матрицы С равен сумме попарных произведений элементов i строки матрицы A и j столбца матрицы B

Здесь A (m= 2 строки, n= 3 столбца), B (n= 3 строки, p= 2 столбца), Новая матрица С (m= 2 строки, p= 2 столбца),

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используется запись

Перемножение (произведение) матриц, есть операция составления произведения матрицы A на матрицу B.

Условие перемножения (произведения) матриц

Матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B. Необходимо, чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B

Оба произведения A · B и B · A можно определить только в том случае, когда число столбцов A совпадает с числом строк B, а число строк A совпадает с числом столбцов B. При этом обе матрицы A · B и B · A будут квадратными, но порядки их будут разными.

Чтобы оба произведения A · B и B · A были определены и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы матрицы A и B были квадратными матрицами одного порядка.

Свойства перемножения (произведения) матриц

1. Сочетательное свойство произведения матриц

2. Распределительное свойство произведения матриц относительно суммы матриц

2. Перестановочное свойство произведения матриц справедливо и меет место лишь в исключительных частных случаях. В общем случае произведение матриц не обладает таким свойством, т.е.:

Частный случай выполнения перестановочного свойства для произведения матриц

Если в диагональной матрице D все элементы главной диагонали равны друг другу, т.е.

то для любой квадратной матрицы A порядка n справедливо равенство

m.fxyz.ru

Произведение двух матриц: формула, решения, свойства

Определение. Произведением двух матриц А и В называется матрица С, элемент которой, находящийся на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j-го столбца матрицы В.

Из этого определения следует формула элемента матрицы C:

Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ.

Пример 1. Найти произведение двух матриц А и B, если

,

.

Решение. Удобно нахождение произведения двух матриц А и В записывать так, как на рис.2:

На схеме серые стрелки показывают, элементы какой строки матрицы А на элементы какого столбца матрицы В нужно перемножить для получения элементов матрицы С , а линиями цвета элемента матрицы C соединены соответствующие элементы матриц A и B, произведения которых складываются для получения элемента матрицы C.

В результате получаем элементы произведения матриц:

Теперь у нас есть всё, чтобы записать произведение двух матриц:

.

Произведение двух матриц АВ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В .

Эту важную особенность будет легче запомнить, если почаще пользоваться следующими памятками:

Имеет место ещё одна важная особенность произведения матриц относительно числа строк и столбцов:

В произведении матриц АВ число строк равно числу строк матрицы А , а число столбцов равно числу столбцов матрицы В .

Пример 2. Найти число строк и столбцов матрицы C, которая является произведением двух матриц A и B следующих размерностей:

а) 2 Х 10 и 10 Х 5;

б) 10 Х 2 и 2 Х 5;

в) 4 Х 4 и 4 Х 10.

Далее — примеры на нахождение произведения двух матриц различной размерности.

Пример 3. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A — 2, число столбцов в матрице B — 2. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 2 X 2.

Найденное произведение матриц: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Пример 4. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A — 2, число столбцов в матрице B — 1. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 2 X 1.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

Произведение матриц запишется в виде матрицы-столбца: .

Пример 5. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A — 3, число столбцов в матрице B — 3. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 3 X 3.

Найденное произведение матриц: .

Пример 6. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A — 1, число столбцов в матрице B — 1. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 1 X 1.

Вычисляем элемент матрицы C = AB.

Произведение матриц является матрицей из одного элемента: .

Программная реализация произведения двух матриц на С++ разобрана в соответствующей статье в блоке «Компьютеры и программирование».

Свойства произведения двух матриц

Свойство 1. Произведение любой матрицы А на единичную матрицу Е соответствующего порядка как справа, так и слева, совпадает с матрицей А , т.е. АЕ = ЕА = А .

Иными словами, роль единичной матрицы при умножении матриц такая же, как и единицы при умножении чисел.

Пример 7. Убедиться в справедливости свойства 1, найдя произведения матрицы

на единичную матрицу справа и слева.

Решение. Так как матрица А содержит три столбца, то требуется найти произведение АЕ , где


единичная матрица третьего порядка. Найдём элементы произведения С = АЕ :




Теперь найдём произведение ЕА , где Е – единичная матрица второго порядка, так как матрица А содержит две строки. Найдём элементы произведения С = ЕА :



Свойство 2. Произведение матрицы А на нуль-матрицу является нуль-матрицей. Это свойство очевидно, так как все элементы нуль-матрицы равны нулю.

Свойство 3. Произведение матриц некоммутативно:
.

Для этого достаточно показать, что равенство АВ = ВА не выполняется для каких-либо двух матриц.

Пример 8. Найти произведения матриц АВ и ВА, если

,

,

и убедиться в том, что эти произведения не равны друг другу:

.

И действительно, найденные произведения не равны:
.

Свойство 5. Для произведения матриц выполняется дистрибутивный закон: (А + В) С = АС + ВС , С (А + В) = СА + СВ .

Свойство 6. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: если С = АВ , то

.

function-x.ru

Умножение матриц.

Умножение матриц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения называется произведением матриц.

Какие матрицы можно умножать?

Умножать матрицы друг на друга можно, когда число столбцов первой равно числу строк второй. Результатом умножения матриц является матрица, у которой число строк равно числу строк первой, а число столбцов совпадает с числом столбцов второй.

Как умножать матрицы?

Внимание! A*B не равно(!) B*A (Большими латинскими буквами обозначены умножаемые матрицы).

Пусть дана матрица размерностью 2*3:

которую необходимо умножить на матрицу 3*2:

При этом (по правилу умножения матриц) должна получиться матрица размерностью 2*2:

Перемножим элементы первой строки матрицы 2*3 на соответствующие элементы первого столбца матрицы 3*2. Делается это следующим образом: мысленно поворачиваем матрицу 2*3, перемножаем элементы: 1*7, 2*9, 3*11. Складываем полученные произведения и записываем результат в «красную ячейку»:

Далее — по аналогии:

Ответ — матрица 2*2:

Пример: выполнить умножение матриц:

akak-ich.ru

Умножения матрицы на вектор, матрицы на матрицу формула — пример (правило с пояснением)

Primary tabs

Рассмотрим здесь примеры умножения матрицы на матрицу (вектор).
Во-первых:

Первую матрицу можно умножить на вторую только в случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы!

Правило для получения элемента матрицы, являющейся результатом произведения матрицы A на матрицу B:

Чтобы получить очередной элемент с координатами (M — номер строки, N-номер столбца) матрицы-результата — необходимо сложить результаты произведений элементов M-ой строки первой матрицы на элементы N-ого столбца второй матрицы

Чтобы было понятнее смотрите примеры ниже.

Умножением матрицы на вектор — пример

Начнём с того, что вектор — это тоже матрица, просто из одного столбца.
Умножим матрицу на вектор — запишем вектор слева от матрицы и применим правило указанное выше:

$\Large \begin2 & -3\\
4 & 7
\end\begin2\\
3
\end = \begin2*2 + (-3)*3 \\
4*2 + 7*3
\end = \begin-5 \\
29
\end $
Итак в результате умноежния матрицы на вектор мы получили вектор (ветор — тоже матрица):
$ \begin-5 \\
29
\end $

Умножением матрицы на матрицу — примеры

Теперь рассмотри умножение матрицы на матрицу — помним, что число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк во второй матрице (иначе умножение невозможно).
Для начала пример 2 на 2 (2х2):
$\Large \begin2 & -3\\
4 & 7
\end\begin-5 & 2\\
-1 & 4
\end =$
$\Large = \begin[2*(-5) + (-3)*(-1)] & [2*2 + (-3)*4] \\
[4*(-5) + 7*(-1)] & [4*2 + 7*4]
\end =$
$\Large= \begin-7 & -8\\
-27 & 36
\end $

Аналогично выполняется уможение матриц 3х3 (размерностью 3 на 3 и других — больших размерностей):

$\begin1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end\begin3 & -4 & 5\\
1 & -1 & 1\\
2 & -2 & 3
\end =$
$ = \begin(1*3 + 2*1 + 3*2) & 1*(-4) + 2*(-1) + 3*(-2) & 1*5 + 2*1 + 3*3 \\
(4*3 + 5*1 + 6*2) & 4*(-4) + 5*(-1) + 6*(-2) & 4*5 + 5*1 + 6*3 \\
(7*3 + 8*1 + 9*2) & 7*(-4) + 8*(-1) + 9*(-2) & 7*5 + 8*1 + 9*3 \\
\end=$
$ = \begin11 & -12 & 16\\
29 & -33 & 43\\
47 & -54 & 70
\end $

Key Words for FKN + antitotal forum (CS VSU):

  • Log in to post comments
  • 10090 reads
  • Wed, 04/08/2015 — 10:28

    $\Large 2*2 + (-3)*3 \neq -3$

    $\Large 2*2 + (-3)*3 \neq -3$

    Wed, 04/08/2015 — 12:13

    $2*2 + (-3)*3 = -5$
    Спасибо! даже помню как я считал это действие — помню что считал как 6 — 9 )))
    остальное вроде правильно, да?)

    _____________
    матфак вгу и остальная классика =)

      Wed, 04/08/2015 — 21:23

    Sat, 06/20/2015 — 17:14

    если число столбцов первой

    если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы

    эта формулировка правильна.
    Просто внимательно изучите примеры выше. Для получения очередного элемента матрицы результата, мы «умножаем» (составляем сумму произведений) строку первой матрицы на столбец второй, НО (!) строка первой матрицы по длине — это число столбцов первой матрицы, а длина столбца второй — это число строк второй.
    Потому важно именно чтобы совпадало число столбцов в первой и число строк по второй.

    Если бы было иначе — число строк должно было бы совпадать с числом столбцов — и правило умножения было бы совсем другим — . — тогда бы вам пришлось умножить матрицы:
    $\Large
    \begin2\\
    3
    \end\begin2 & -3\\
    4 & 7
    \end$
    Используя алгоритм, приведённый выше — вам бы было не на что умножать 4-ку из первого столбца второй матрицы.
    И эти два условия (число строк = числу столбцов и число столбцов= числу строк) не эквивалентны в общем случае- эквивалентны они только для квадратных матриц)

    fkn.ktu10.com

    Смотрите так же:

    • Преступления и наказания pdf Достоевский Федор Комментарии Первый раз читала в школе - не впечатлилась. Недавно перечитала. Книга потрясающая. Оценка 5 из 5 звёзд от Ольга 24.05.2018 18:37 Монолог Порфирия Петровича! Оценка 5 из 5 звёзд от Ruslan 29.01.2018 21:35 […]
    • Пособие по черлидингу Онлайн библиотека огромный выбор книг МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ЧЕРЛИДИНГУ Формат: Pdf Размер: . MB Загружено: раз С целью уточнения теоретического анализа и обобщения определения - работа с помпонами (далее по тексту «предметная […]
    • Приказ о мсэк Федеральное казенное учреждение Главное бюро медико-социальной экспертизыпо Томской областиМинистерства труда и социальной защитыРоссийской Федерации Об учреждении Информация для граждан Работа с обращениями граждан […]
    • Опека электрогорска Опека и попечительство Отдел опеки и попечительства Министерства образования Московской области по городским округам Павловский Посад и Электрогорск Отдел опеки и попечительства Министерства образования Московской области по городским […]
    • Заполнить бланк заявления на инн Форма 2-2-Учет (бланк и образец заполнения) Актуально на: 5 июня 2017 г. Форма 2-2-Учет (бланк) В нашей консультации мы рассказывали об учете налогоплательщиков и указывали, что физические лица подлежат постановке на учет в налоговых […]
    • Методика проведения экспертизы промышленной безопасности трубопроводов Методика проведения экспертизы промышленной безопасности газопроводов Методика проведения экспертизы промышленной безопасности газопроводов регламентируется правовым документом "Методика проведения экспертизы промышленной безопасности и […]